微积分学示例

$\int_{1}^{\infty} \frac{5}{x^{4}} d x$

解题步骤 1

将积分表示为 $t$ 趋于 $\infty$ 时的极限。

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{5}{x^{4}} d x$

解题步骤 2

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{4}} d x$

解题步骤 3

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

通过将 $x^{4}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} {(x^{4})}^{- 1} d x$

解题步骤 3.2

将 ${(x^{4})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{4 \cdot - 1} d x$

解题步骤 3.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{1}^{t} x^{- 4} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{- 4}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3} x^{- 3}]_{1}^{t})$

解题步骤 5

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

组合 $x^{- 3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{x^{- 3}}{3}]_{1}^{t})$

解题步骤 5.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 x^{3}}]_{1}^{t})$

解题步骤 5.2

代入并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

计算 $- \frac{1}{3 x^{3}}$ 在 $t$ 处和在 $1$ 处的值。

$lim_{t \to \infty} 5 ((- \frac{1}{3 t^{3}}) + \frac{1}{3 \cdot 1^{3}})$

解题步骤 5.2.2

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3 \cdot 1})$

解题步骤 5.2.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to \infty} 5 (- \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3})$

解题步骤 6

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1.1

因为项 $5$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 lim_{t \to \infty} - \frac{1}{3 t^{3}} + \frac{1}{3}$

解题步骤 6.1.2

当 $t$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{3 t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

解题步骤 6.1.3

因为项 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$5 (- \frac{1}{3} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

解题步骤 6.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{t^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{3})$

解题步骤 6.3

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

计算 $\frac{1}{3}$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$5 (- \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3})$

解题步骤 6.3.2

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$5 (0 (\frac{1}{3}) + \frac{1}{3})$

解题步骤 6.3.2.1.2

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$5 (0 + \frac{1}{3})$

解题步骤 6.3.2.2

将 $0$ 和 $\frac{1}{3}$ 相加。

$5 (\frac{1}{3})$

解题步骤 6.3.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{5}{3}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{5}{3}$

小数形式：

$1.\overline{6}$

带分数形式：

$1 \frac{2}{3}$

微积分学 示例

微积分学示例