微积分学示例

$lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{3} + 5 x^{2} - 2 x - 15$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $\frac{π}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{3} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

解题步骤 2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

解题步骤 3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

解题步骤 4

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

解题步骤 5

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} 15$

解题步骤 6

计算 $15$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{π}{2}$ 时此极限值为常数。

${(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

解题步骤 7

将 $\frac{π}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

解题步骤 7.2

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - 1 \cdot 15$

解题步骤 7.3

将 $\frac{π}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

${(\frac{π}{2})}^{3} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

解题步骤 8

化简每一项。

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解题步骤 8.1

对 $\frac{π}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{π^{3}}{2^{3}} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

解题步骤 8.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{π^{3}}{8} + 5 {(\frac{π}{2})}^{2} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

解题步骤 8.3

对 $\frac{π}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{π^{3}}{8} + 5 \frac{π^{2}}{2^{2}} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

解题步骤 8.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{π^{3}}{8} + 5 \frac{π^{2}}{4} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

解题步骤 8.5

组合 $5$ 和 $\frac{π^{2}}{4}$ 。

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - 2 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

解题步骤 8.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.6.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} + 2 (- 1) \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

解题步骤 8.6.2

约去公因数。

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} + 2 \cdot - 1 \frac{π}{2} - 1 \cdot 15$

解题步骤 8.6.3

重写表达式。

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 1 \cdot 15$

解题步骤 8.7

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 15$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{π^{3}}{8} + \frac{5 π^{2}}{4} - π - 15$

小数形式：

$- 1.92880256 \dots$

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