微积分学示例

$f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.8

将负号移到分数的前面。

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.10

组合 $12$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.12

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.13

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.13.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 1.13.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.13.3

重写表达式。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3} \cdot - 1})$

解题步骤 2.2.2.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.2.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2 \cdot - 1}{3}})$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 2 - 3}{3}})$

解题步骤 2.7.2

从 $- 2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{\frac{- 5}{3}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 4 (- \frac{2}{3} x^{- \frac{5}{3}})$

解题步骤 2.9

组合 $x^{- \frac{5}{3}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = 4 (- \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3})$

解题步骤 2.10

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$

解题步骤 2.11

组合 $- 4$ 和 $\frac{x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 (x^{- \frac{5}{3}} \cdot 2)}{3}$

解题步骤 2.12

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.12.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{- \frac{5}{3}}}{3}$

解题步骤 2.12.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{- 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.12.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.2

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 4.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 4.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.1.6

在公分母上合并分子。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.1.7

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 4.1.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$12 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 4.1.8

将负号移到分数的前面。

$12 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 4.1.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$12 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 4.1.10

组合 $12$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{12 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 4.1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.12

从 $12$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.13

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.13.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 4}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 4.1.13.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.13.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$4 = 0$

解题步骤 5.3

因为 $4 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{4}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.2.1

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$x^{2} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.3.3.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.3.3.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.3.3.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.3.3.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{8}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$- \frac{8}{3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 9.2

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$- \frac{8}{3 \cdot 0^{5}}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{8}{3 \cdot 0}$

解题步骤 9.3.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{8}{0}$

解题步骤 9.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{8}{0}$

解题步骤 9.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.2.2

最终答案为 $\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{{(- 2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \frac{4}{{(2)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 10.3.2.1

去掉圆括号。

$f' (2) = \frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.3.2.2

最终答案为 $\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{2^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 10.4

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.5

对于 $f (x) = 12 \sqrt[3]{x}$ ，不存在局部最大值和最小值。

没有局部最大值或最小值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例