微积分学示例

$\frac{y}{3 y^{2} - x}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = 3 y^{2} - x$ 。

$\frac{(3 y^{2} - x) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 y^{2} - x) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $3 y^{2} - x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 y^{2} - x - y \frac{d}{d y} [3 y^{2} - x]}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $3 y^{2} - x$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ 。

$\frac{3 y^{2} - x - y (\frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $3$ 对于 $y$ 是常数，所以 $3 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3 y^{2} - x - y (3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 2.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + \frac{d}{d y} [- x])}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $- x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y + 0)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

将 $6 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 y^{2} - x - y (6 y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y \cdot y}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 4

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 y^{2} - x - 6 (y^{1} y^{1})}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{1 + 1}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 y^{2} - x - 6 y^{2}}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 7

从 $3 y^{2}$ 中减去 $6 y^{2}$ 。

$\frac{- 3 y^{2} - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

从 $- 3 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 y^{2}) - x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 8.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 y^{2}) - (x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 8.3

从 $- (3 y^{2}) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 8.4

将 $- (3 y^{2} + x)$ 重写为 $- 1 (3 y^{2} + x)$ 。

$\frac{- 1 (3 y^{2} + x)}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

解题步骤 8.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3 y^{2} + x}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

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