微积分学示例

$f (x) = \sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $\sqrt{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\sqrt{3} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sqrt{3} \cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 1.1.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f' (x) = \sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$ 。

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x)$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\sqrt{3} \cos (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2.2

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{3} \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.3.2

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{3} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.4

分离分数。

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.5

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\sqrt{3} + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.6

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 2.7

分离分数。

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 2.8

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\sqrt{3} - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 2.9

用 $0$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0 \sec (x)$

解题步骤 2.10

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$\sqrt{3} - \tan (x) = 0$

解题步骤 2.11

从等式两边同时减去 $\sqrt{3}$ 。

$- \tan (x) = - \sqrt{3}$

解题步骤 2.12

将 $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.12.1

将 $- \tan (x) = - \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 2.12.2

化简左边。

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解题步骤 2.12.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 2.12.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 1}$

解题步骤 2.12.3

化简右边。

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解题步骤 2.12.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\tan (x) = \frac{\sqrt{3}}{1}$

解题步骤 2.12.3.2

用 $\sqrt{3}$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

解题步骤 2.13

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 2.14

化简右边。

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解题步骤 2.14.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 2.15

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{3}$

解题步骤 2.16

化简 $π + \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 2.16.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 2.16.2

合并分数。

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解题步骤 2.16.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 2.16.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

解题步骤 2.16.3

化简分子。

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解题步骤 2.16.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

解题步骤 2.16.3.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 2.17

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.17.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.17.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.17.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.17.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.18

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sqrt{3} \sin (x) + \cos (x)$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = \frac{π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $\frac{π}{3}$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{3} \sin (\frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.2

乘以 $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.2.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.2.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.2.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.1.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.1.3.4.1

约去公因数。

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.3.4.2

重写表达式。

$\frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.3.5

计算指数。

$\frac{3}{2} + \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.1.2.1.4

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4.1.2.2

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{3 + 1}{2}$

解题步骤 4.1.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.2.2.1

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{2}$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

用 $4$ 除以 $2$ 。

$2$

解题步骤 4.2

在 $x = \frac{4 π}{3}$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $\frac{4 π}{3}$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{3} \sin (\frac{4 π}{3}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$\sqrt{3} (- \sin (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.3

乘以 $\sqrt{3} (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.4

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.4.4.1

约去公因数。

$- \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.4.4.2

重写表达式。

$- \frac{3^{1}}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.4.5

计算指数。

$- \frac{3}{2} + \cos (\frac{4 π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.5

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$- \frac{3}{2} - \cos (\frac{π}{3})$

解题步骤 4.2.2.1.6

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{3}{2} - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.2.2.1

在公分母上合并分子。

$\frac{- 3 - 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.2.2.1

从 $- 3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{- 4}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.2.2

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(\frac{π}{3} + 2 π n, 2), (\frac{4 π}{3} + 2 π n, - 2)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

微积分学 示例

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