微积分学示例

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $v^{4} + 4 v^{8}$ 中分解出因数 $v^{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1

乘以 $1$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + 4 v^{8}}{v^{5}} d v$

解题步骤 1.1.2

从 $4 v^{8}$ 中分解出因数 $v^{4}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})}{v^{5}} d v$

解题步骤 1.1.3

从 $v^{4} \cdot 1 + v^{4} (4 v^{4})$ 中分解出因数 $v^{4}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{5}} d v$

解题步骤 1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.1

从 $v^{5}$ 中分解出因数 $v^{4}$ 。

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

解题步骤 1.2.2

约去公因数。

$\int_{1}^{2} \frac{v^{4} (1 + 4 v^{4})}{v^{4} v} d v$

解题步骤 1.2.3

重写表达式。

$\int_{1}^{2} \frac{1 + 4 v^{4}}{v} d v$

解题步骤 2

将 $1$ 和 $4 v^{4}$ 重新排序。

$\int_{1}^{2} \frac{4 v^{4} + 1}{v} d v$

解题步骤 3

用 $4 v^{4} + 1$ 除以 $v$ 。

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解题步骤 3.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

解题步骤 3.2

将被除数中的最高阶项 $4 v^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $v$ 。

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

解题步骤 3.3

将新的商式项乘以除数。

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

解题步骤 3.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 v^{4} + 0$ 中的所有符号

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

解题步骤 3.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

解题步骤 3.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$4 v^{3}$

$v$

$0$

$4 v^{4}$

$0 v^{3}$

$0 v^{2}$

$0 v$

$1$

$4 v^{4}$

$0$

$0 v^{2}$

$0 v$

解题步骤 3.7

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} + \frac{1}{v} d v$

解题步骤 4

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{1}^{2} 4 v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

解题步骤 5

由于 $4$ 对于 $v$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$4 \int_{1}^{2} v^{3} d v + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

解题步骤 6

根据幂法则， $v^{3}$ 对 $v$ 的积分是 $\frac{1}{4} v^{4}$ 。

$4 (\frac{1}{4} v^{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

解题步骤 7

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $v^{4}$ 。

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} \frac{1}{v} d v$

解题步骤 8

$\frac{1}{v}$ 对 $v$ 的积分为 $\ln (| v |)$ 。

$4 (\frac{v^{4}}{4}]_{1}^{2}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

代入并化简。

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解题步骤 9.1.1

计算 $\frac{v^{4}}{4}$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| v |)]_{1}^{2}$

解题步骤 9.1.2

计算 $\ln (| v |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3

化简。

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解题步骤 9.1.3.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 (\frac{16}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.2

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.2.2.2

约去公因数。

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.2.2.3

重写表达式。

$4 (\frac{4}{1} - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.2.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 (4 - \frac{1^{4}}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.3

一的任意次幂都为一。

$4 (4 - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.4

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$4 (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.5

组合 $4$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.6

在公分母上合并分子。

$4 \frac{4 \cdot 4 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.7

化简分子。

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解题步骤 9.1.3.7.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$4 \frac{16 - 1}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.7.2

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$4 (\frac{15}{4}) + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.8

组合 $4$ 和 $\frac{15}{4}$ 。

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.9

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$\frac{60}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.10

约去 $60$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.3.10.1

从 $60$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 15}{4} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.10.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.3.10.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 15}{4 (1)} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.10.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 15}{4 \cdot 1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.10.2.3

重写表达式。

$\frac{15}{1} + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.1.3.10.2.4

用 $15$ 除以 $1$ 。

$15 + \ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

解题步骤 9.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$15 + \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$15 + \ln (\frac{2}{| 1 |})$

解题步骤 9.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$15 + \ln (\frac{2}{1})$

解题步骤 9.3.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$15 + \ln (2)$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$15 + \ln (2)$

小数形式：

$15.69314718 \dots$

解题步骤 11

微积分学 示例

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