微积分学示例

$\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 (x + 2)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 2}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 2$ 且 $g (x) = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3

将 ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x + 3)}^{1}}$

解题步骤 4

化简。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

解题步骤 5.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

解题步骤 5.4.2

将 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{\frac{1}{2}}]}{x + 3}$

解题步骤 6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x + 3$ 。

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解题步骤 6.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x + 3$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

解题步骤 6.3

使用 $x + 3$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

解题步骤 11

合并分数。

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解题步骤 11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2} {(x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

解题步骤 11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{{(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

解题步骤 11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 3])}{x + 3}$

解题步骤 12

根据加法法则， $x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{x + 3}$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [3]))}{x + 3}$

解题步骤 14

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0))}{x + 3}$

解题步骤 15

合并分数。

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解题步骤 15.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) (\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 3}$

解题步骤 15.2

将 $\frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$

解题步骤 15.3

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{{(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 3}$ 。

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} - (x + 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

解题步骤 16.2

运用分配律。

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 3)}$

解题步骤 16.3

运用分配律。

$\frac{3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4

化简分子。

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解题步骤 16.4.1

从 $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 16.4.1.1

从 $3 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.1.2

从 $3 (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.1.3

从 $3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 ({(x + 3)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 2) \frac{1}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.2

使 $u_{2} = {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。用 $u_{2}$ 代入替换所有出现的 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 16.4.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{3 \frac{2 u_{2} \cdot u_{2} - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.2.2

通过指数相加将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

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解题步骤 16.4.2.2.1

移动 $u_{2}$ 。

$\frac{3 \frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.2.2.2

将 $u_{2}$ 乘以 $u_{2}$ 。

$\frac{3 \frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 2}{2 u_{2}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.3

使用 ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{3 \frac{2 {({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.4

化简。

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解题步骤 16.4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 16.4.4.1.1

将 ${({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 16.4.4.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.4.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.4.4.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.4.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{3 \frac{2 {(x + 3)}^{1} - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.4.1.2

化简。

$\frac{3 \frac{2 (x + 3) - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.4.1.3

运用分配律。

$\frac{3 \frac{2 x + 2 \cdot 3 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.4.1.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 \frac{2 x + 6 - x - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.4.2

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{3 \frac{x + 6 - 2}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.4.4.3

从 $6$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3 \frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.5

合并项。

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解题步骤 16.5.1

组合 $3$ 和 $\frac{x + 4}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 3}$

解题步骤 16.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$

解题步骤 16.5.3

将 $\frac{\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 6}$ 重写为乘积形式。

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 6}$

解题步骤 16.5.4

将 $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{2 x + 6}$ 。

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 6)}$

解题步骤 16.6

化简分母。

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解题步骤 16.6.1

从 $2 x + 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 16.6.1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 6)}$

解题步骤 16.6.1.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 3)}$

解题步骤 16.6.1.3

从 $2 x + 2 \cdot 3$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 3))}$

$\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x + 3)}$

解题步骤 16.6.2

合并指数。

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解题步骤 16.6.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{1}{2}} (x + 3)}$

解题步骤 16.6.2.2

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{3 (x + 4)}{4 ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 16.6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.2.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

解题步骤 16.6.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

解题步骤 16.6.2.6

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3 (x + 4)}{4 {(x + 3)}^{\frac{3}{2}}}$

微积分学 示例

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