微积分学示例

$\int \frac{1}{x \sqrt[3]{\ln (x)}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \ln (x)$ 。然后使 $d u = \frac{1}{x} d x$ ，以便 $x d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \ln (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\ln (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

解题步骤 2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

解题步骤 2.2

通过将 $u^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

解题步骤 2.3

将 ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

解题步骤 2.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

解题步骤 2.3.3

将负号移到分数的前面。

$\int u^{- \frac{1}{3}} d u$

解题步骤 3

根据幂法则， $u^{- \frac{1}{3}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 4

使用 $\ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3}{2} {\ln (x)}^{\frac{2}{3}} + C$

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