微积分学示例

$f (x) = \frac{2}{x^{4} - 16}$ on interval $(0, 2)$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{4} - 16}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4} - 16}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

将 $\frac{1}{x^{4} - 16}$ 重写为 ${(x^{4} - 16)}^{- 1}$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{4} - 16)}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{4} - 16$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} - 16$ 。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用 $x^{4} - 16$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (- {(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 1.1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 ({(x^{4} - 16)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$

解题步骤 1.1.1.3.2

根据加法法则， $x^{4} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])$

解题步骤 1.1.1.3.4

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3} + 0)$

解题步骤 1.1.1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 {(x^{4} - 16)}^{- 2} (4 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.3.5.2

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$- 8 {(x^{4} - 16)}^{- 2} x^{3}$

解题步骤 1.1.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 8 \frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

解题步骤 1.1.1.5

合并项。

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解题步骤 1.1.1.5.1

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 。

$\frac{- 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

解题步骤 1.1.1.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}} x^{3}$

解题步骤 1.1.1.5.3

组合 $x^{3}$ 和 $\frac{8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 。

$- \frac{x^{3} \cdot 8}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.5.4

将 $8$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$8 x^{3} = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $8 x^{3} = 0$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1.1

将 $8 x^{3} = 0$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

解题步骤 1.2.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.1.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x^{3}}{8} = \frac{0}{8}$

解题步骤 1.2.3.1.2.1.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{0}{8}$

解题步骤 1.2.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $8$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 1.2.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.2.3.3

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 1.2.3.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{8 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.3.2.1.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.1.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.1.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 4$ 。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.1.4

化简。

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解题步骤 1.3.2.1.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.1.4.2

因数。

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解题步骤 1.3.2.1.4.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.1.4.2.2

去掉多余的括号。

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.1.5

对 $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 运用乘积法则。

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.1.6

对 $(x^{2} + 4) (x + 2)$ 运用乘积法则。

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.3

将 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.3.1

将 ${(x^{2} + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.3.2.3.2.1

将 $x^{2} + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 1.3.2.3.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.3.2.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x^{2} = - 4$

解题步骤 1.3.2.3.2.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 1.3.2.3.2.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 1.3.2.3.2.2.3.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 1.3.2.3.2.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 1.3.2.3.2.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 1.3.2.3.2.2.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 1.3.2.3.2.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 1.3.2.3.2.2.3.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

解题步骤 1.3.2.3.2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.3.2.3.2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

解题步骤 1.3.2.3.2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

解题步骤 1.3.2.3.2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 1.3.2.4

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.4.1

将 ${(x + 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 2)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x + 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.3.2.4.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 1.3.2.4.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 1.3.2.5

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.5.1

将 ${(x - 2)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 2)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2.5.2

求解 $x$ 的 ${(x - 2)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.3.2.5.2.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.3.2.5.2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.3.2.6

最终解为使 ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

解题步骤 1.3.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 2, x = 2$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{2}{x^{4} - 16}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{2}{{(0)}^{4} - 16}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2}{0 - 16}$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$\frac{2}{- 16}$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

约去 $2$ 和 $- 16$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1)}{- 16}$

解题步骤 1.4.1.2.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1.2.1

从 $- 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

解题步骤 1.4.1.2.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 8}$

解题步骤 1.4.1.2.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{- 8}$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{8}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$\frac{2}{{(- 2)}^{4} - 16}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{2}{16 - 16}$

解题步骤 1.4.2.2.2

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$\frac{2}{0}$

解题步骤 1.4.2.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 1.4.3

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{2}{{(2)}^{4} - 16}$

解题步骤 1.4.3.2

化简。

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解题步骤 1.4.3.2.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{2}{16 - 16}$

解题步骤 1.4.3.2.2

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$\frac{2}{0}$

解题步骤 1.4.3.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 1.4.4

列出所有的点。

$(0, - \frac{1}{8})$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

解题步骤 3

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

没有绝对最大值

没有绝对最小值

解题步骤 5

微积分学 示例

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