微积分学示例

$\int \frac{3 x^{2} - 3 x + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x} d x$

解题步骤 1

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 1.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $3 x^{2} - 3 x + 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2}) - 3 x + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

解题步骤 1.1.1.1.2

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 6}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

解题步骤 1.1.1.1.3

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

解题步骤 1.1.1.1.4

从 $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} - x) + 3 (2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

解题步骤 1.1.1.1.5

从 $3 (x^{2} - x) + 3 (2)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x}$

解题步骤 1.1.1.2

从 $4 x^{3} - 6 x^{2} + 24 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) - 6 x^{2} + 24 x}$

解题步骤 1.1.1.2.2

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 24 x}$

解题步骤 1.1.1.2.3

从 $24 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (12)}$

解题步骤 1.1.1.2.4

从 $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (12)}$

解题步骤 1.1.1.2.5

从 $2 x (2 x^{2} - 3 x) + 2 x (12)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2)}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

解题步骤 1.1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于因式为二阶，分子中必须要有 $2$ 项。分子中必须包含的项数始终等于分母中的因式阶数。

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.3

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)$ 。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.1

约去公因数。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.4.2

重写表达式。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.5

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.5.1

约去公因数。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x (2 x^{2} - 3 x + 12)} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.5.2

重写表达式。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 12)}{2 x^{2} - 3 x + 12} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.6

约去 $2 x^{2} - 3 x + 12$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.6.1

约去公因数。

$\frac{3 (x^{2} - x + 2) (2 x^{2} - 3 x + 12)}{2 x^{2} - 3 x + 12} = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.6.2

用 $3 (x^{2} - x + 2)$ 除以 $1$ 。

$3 (x^{2} - x + 2) = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.7

运用分配律。

$3 x^{2} + 3 (- x) + 3 \cdot 2 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.8

化简。

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解题步骤 1.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 3 \cdot 2 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.8.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.9

化简每一项。

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解题步骤 1.1.9.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.9.1.1

约去公因数。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = \frac{A (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{x} + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.9.1.2

用 $A (2 (2 x^{2} - 3 x + 12))$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = A (2 (2 x^{2} - 3 x + 12)) + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.9.2

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 A (2 x^{2} - 3 x + 12) + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.9.3

运用分配律。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 A (2 x^{2}) + 2 A (- 3 x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.9.4

化简。

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解题步骤 1.1.9.4.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 A (- 3 x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.9.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 \cdot (- 3 A x) + 2 A \cdot 12 + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.9.4.3

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 2 \cdot (2 A x^{2}) + 2 \cdot (- 3 A x) + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.9.5

化简每一项。

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解题步骤 1.1.9.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} + 2 \cdot (- 3 A x) + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.9.5.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.9.6

约去 $2 x^{2} - 3 x + 12$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.9.6.1

约去公因数。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + \frac{(B x + C) (2 x (2 x^{2} - 3 x + 12))}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.1.9.6.2

用 $(B x + C) (2 x)$ 除以 $1$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + (B x + C) (2 x)$

解题步骤 1.1.9.7

运用分配律。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + B x (2 x) + C (2 x)$

解题步骤 1.1.9.8

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x \cdot x + C (2 x)$

解题步骤 1.1.9.9

使用乘法的交换性质重写。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x \cdot x + 2 C x$

解题步骤 1.1.9.10

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.9.10.1

移动 $x$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B (x \cdot x) + 2 C x$

解题步骤 1.1.9.10.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 A x^{2} - 6 A x + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

解题步骤 1.1.10

重新排序。

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解题步骤 1.1.10.1

移动 $A$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 A x + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

解题步骤 1.1.10.2

移动 $A$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 24 A + 2 B x^{2} + 2 C x$

解题步骤 1.1.10.3

移动 $B$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 24 A + 2 x^{2} B + 2 C x$

解题步骤 1.1.10.4

移动 $24 A$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A - 6 x A + 2 x^{2} B + 2 C x + 24 A$

解题步骤 1.1.10.5

移动 $- 6 x A$ 。

$3 x^{2} - 3 x + 6 = 4 x^{2} A + 2 x^{2} B - 6 x A + 2 C x + 24 A$

解题步骤 1.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 1.2.1

使方程两边 $x^{2}$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$3 = 4 A + 2 B$

解题步骤 1.2.2

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.2.3

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$6 = 24 A$

解题步骤 1.2.4

建立方程组以求部分分式的系数。

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$6 = 24 A$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$6 = 24 A$

解题步骤 1.3

求解方程组。

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解题步骤 1.3.1

在 $6 = 24 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 1.3.1.1

将方程重写为 $24 A = 6$ 。

$24 A = 6$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2

将 $24 A = 6$ 中的每一项除以 $24$ 并化简。

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解题步骤 1.3.1.2.1

将 $24 A = 6$ 中的每一项都除以 $24$ 。

$\frac{24 A}{24} = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.1.2.2.1

约去 $24$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{24 A}{24} = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2.2.1.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{6}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.1.2.3.1

约去 $6$ 和 $24$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.3.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$A = \frac{6 (1)}{24}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.3.1.2.1

从 $24$ 中分解出因数 $6$ 。

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2.3.1.2.2

约去公因数。

$A = \frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.3.1.2.3.1.2.3

重写表达式。

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$A = \frac{1}{4}$

$3 = 4 A + 2 B$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $\frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

使用 $\frac{1}{4}$ 替换 $3 = 4 A + 2 B$ 中所有出现的 $A$ .

$3 = 4 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

约去公因数。

$3 = 4 (\frac{1}{4}) + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

重写表达式。

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 6 A + 2 C$

解题步骤 1.3.2.3

使用 $\frac{1}{4}$ 替换 $- 3 = - 6 A + 2 C$ 中所有出现的 $A$ .

$- 3 = - 6 (\frac{1}{4}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.4.1.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 = 2 (- 3) (\frac{1}{4}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.2.4.1.1.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- 3 = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.2.4.1.1.3

约去公因数。

$- 3 = 2 \cdot (- 3 \frac{1}{2 \cdot 2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.2.4.1.1.4

重写表达式。

$- 3 = - 3 (\frac{1}{2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - 3 (\frac{1}{2}) + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.2.4.1.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- 3 = \frac{- 3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.2.4.1.3

将负号移到分数的前面。

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3

在 $- 3 = - \frac{3}{2} + 2 C$ 中求解 $C$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

将方程重写为 $- \frac{3}{2} + 2 C = - 3$ 。

$- \frac{3}{2} + 2 C = - 3$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

在等式两边都加上 $\frac{3}{2}$ 。

$2 C = - 3 + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.2.2

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 C = - 3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.2.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 C = \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$2 C = \frac{- 3 \cdot 2 + 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.2.5.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$2 C = \frac{- 6 + 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.2.5.2

将 $- 6$ 和 $3$ 相加。

$2 C = \frac{- 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$2 C = \frac{- 3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.2.6

将负号移到分数的前面。

$2 C = - \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$2 C = - \frac{3}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.3

将 $2 C = - \frac{3}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.1

将 $2 C = - \frac{3}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 C}{2} = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.3.2.1.2

用 $C$ 除以 $1$ 。

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = \frac{- \frac{3}{2}}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$C = - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.3.3.2

乘以 $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.3.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$C = - \frac{3}{2 \cdot 2}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.3.3.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

$C = - \frac{3}{4}$

$3 = 1 + 2 B$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.4

将每个方程中所有出现的 $C$ 替换成 $- \frac{3}{4}$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

将方程重写为 $1 + 2 B = 3$ 。

$1 + 2 B = 3$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.4.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 B = 3 - 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.4.2.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$2 B = 2$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$2 B = 2$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $2 B = 2$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.3.4.3.1

将 $2 B = 2$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.4.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 B}{2} = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.4.3.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = \frac{2}{2}$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.3.3.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

$B = 1$

$C = - \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.3.5

列出所有解。

$B = 1, C = - \frac{3}{4}, A = \frac{1}{4}$

解题步骤 1.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{2 x^{2} - 3 x + 12}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 的值。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{1 x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将分数的分子和分母乘以 $4$ 。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $\frac{1 \cdot x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4}{4} \cdot \frac{1 \cdot x - \frac{3}{4}}{2 x^{2} - 3 x + 12}$

解题步骤 1.5.1.2

合并。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x - \frac{3}{4})}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

解题步骤 1.5.2

运用分配律。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (- \frac{3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

解题步骤 1.5.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1

将 $- \frac{3}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (\frac{- 3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

解题步骤 1.5.3.2

约去公因数。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) + 4 (\frac{- 3}{4})}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

解题步骤 1.5.3.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 (1 \cdot x) - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

解题步骤 1.5.4

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 \cdot (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

解题步骤 1.5.5

从 $4 \cdot 2 x^{2} + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 1.5.5.1

从 $4 \cdot 2 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 \cdot 12}$

解题步骤 1.5.5.2

从 $4 \cdot 12$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x) + 4 (12)}$

解题步骤 1.5.5.3

从 $4 (2 x^{2}) + 4 (- 3 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)}$

解题步骤 1.5.5.4

从 $4 (2 x^{2} - 3 x) + 4 (12)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{\frac{1}{4}}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

解题步骤 1.5.6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)}$

解题步骤 1.5.7

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$\int \frac{1}{4 x} + \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{4 x} d x + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{4 x - 3}{4 (2 x^{2} - 3 x + 12)} d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{4 x - 3}{2 x^{2} - 3 x + 12} d x$

解题步骤 6

使 $u = 2 x^{2} - 3 x + 12$ 。然后使 $d u = (4 x - 3) d x$ ，以便 $\frac{1}{4 x - 3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = 2 x^{2} - 3 x + 12$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $2 x^{2} - 3 x + 12$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3 x + 12]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $2 x^{2} - 3 x + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 6.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 6.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 6.1.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 6.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 6.1.4.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 6.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 6.1.4.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 3 + \frac{d}{d x} [12]$

解题步骤 6.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 6.1.5.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x - 3 + 0$

解题步骤 6.1.5.2

将 $4 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$4 x - 3$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 7

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$\frac{1}{4} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

解题步骤 8

化简。

$\frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

解题步骤 9

使用 $2 x^{2} - 3 x + 12$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{4} \ln (| x |) + \frac{1}{4} \ln (| 2 x^{2} - 3 x + 12 |) + C$

微积分学 示例

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