微积分学示例

$y = \frac{(x^{6} + 4) (b x - 4)}{x^{5}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x^{6} + 4) (b x - 4)$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x^{6} + 4) (b x - 4)] - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x^{6} + 4) (b x - 4)] - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [(x^{6} + 4) (b x - 4)] - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{6} + 4$ 且 $g (x) = b x - 4$ 。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) \frac{d}{d x} [b x - 4] + (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{6} + 4]) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $b x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) (\frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{6} + 4]) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4.2

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b x$ 对 $x$ 的导数是 $b \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) (b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{6} + 4]) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) (b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{6} + 4]) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4.4

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) (b + \frac{d}{d x} [- 4]) + (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{6} + 4]) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) (b + 0) + (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{6} + 4]) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4.6

将 $b$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) b + (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{6} + 4]) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4.7

根据加法法则， $x^{6} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) b + (b x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [4])) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) b + (b x - 4) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [4])) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4.9

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) b + (b x - 4) (6 x^{5} + 0)) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4.10

化简表达式。

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解题步骤 4.10.1

将 $6 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) b + (b x - 4) (6 x^{5})) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4.10.2

将 $6$ 移到 $b x - 4$ 的左侧。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) b + 6 \cdot (b x - 4) x^{5}) - (x^{6} + 4) (b x - 4) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

解题步骤 4.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) b + 6 (b x - 4) x^{5}) - (x^{6} + 4) (b x - 4) (5 x^{4})}{x^{10}}$

解题步骤 4.12

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.12.1

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{5} ((x^{6} + 4) b + 6 (b x - 4) x^{5}) - 5 (x^{6} + 4) (b x - 4) x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 4.12.2

从 $x^{5} ((x^{6} + 4) b + 6 (b x - 4) x^{5}) - 5 (x^{6} + 4) (b x - 4) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.12.2.1

从 $x^{5} ((x^{6} + 4) b + 6 (b x - 4) x^{5})$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (x ((x^{6} + 4) b + 6 (b x - 4) x^{5})) - 5 (x^{6} + 4) (b x - 4) x^{4}}{x^{10}}$

解题步骤 4.12.2.2

从 $- 5 (x^{6} + 4) (b x - 4) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (x ((x^{6} + 4) b + 6 (b x - 4) x^{5})) + x^{4} (- 5 (x^{6} + 4) (b x - 4))}{x^{10}}$

解题步骤 4.12.2.3

从 $x^{4} (x ((x^{6} + 4) b + 6 (b x - 4) x^{5})) + x^{4} (- 5 (x^{6} + 4) (b x - 4))$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (x ((x^{6} + 4) b + 6 (b x - 4) x^{5}) - 5 (x^{6} + 4) (b x - 4))}{x^{10}}$

解题步骤 5

约去公因数。

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解题步骤 5.1

从 $x^{10}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$\frac{x^{4} (x ((x^{6} + 4) b + 6 (b x - 4) x^{5}) - 5 (x^{6} + 4) (b x - 4))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

$\frac{x^{4} (x ((x^{6} + 4) b + 6 (b x - 4) x^{5}) - 5 (x^{6} + 4) (b x - 4))}{x^{4} x^{6}}$

解题步骤 5.3

重写表达式。

$\frac{x ((x^{6} + 4) b + 6 (b x - 4) x^{5}) - 5 (x^{6} + 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x (x^{6} b + 4 b + 6 (b x - 4) x^{5}) - 5 (x^{6} + 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{x (x^{6} b + 4 b + (6 (b x) + 6 \cdot - 4) x^{5}) - 5 (x^{6} + 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{x (x^{6} b + 4 b + 6 (b x) x^{5} + 6 \cdot - 4 x^{5}) - 5 (x^{6} + 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\frac{x (x^{6} b) + x (4 b) + x (6 (b x) x^{5}) + x (6 \cdot - 4 x^{5}) - 5 (x^{6} + 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.5

运用分配律。

$\frac{x (x^{6} b) + x (4 b) + x (6 (b x) x^{5}) + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6

化简分子。

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解题步骤 6.6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 6.6.1.1.1

移动 $x^{6}$ 。

$\frac{x^{6} x b + x (4 b) + x (6 (b x) x^{5}) + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.1.2

将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{6} x^{1} b + x (4 b) + x (6 (b x) x^{5}) + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{6 + 1} b + x (4 b) + x (6 (b x) x^{5}) + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.1.3

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{7} b + x (4 b) + x (6 (b x) x^{5}) + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + x (6 (b x) x^{5}) + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x (b x \cdot x^{5}) + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 (x \cdot x) (b x^{5}) + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{2} (b x^{5}) + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 6.6.1.5.1

移动 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 (x^{5} x^{2}) b + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{5 + 2} b + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.5.3

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b + x (6 \cdot - 4 x^{5}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b + 6 \cdot - 4 x \cdot x^{5} + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 6.6.1.7.1

移动 $x^{5}$ 。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b + 6 \cdot - 4 (x^{5} x) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.7.2

将 $x^{5}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1.7.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b + 6 \cdot - 4 (x^{5} x^{1}) + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b + 6 \cdot - 4 x^{5 + 1} + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.7.3

将 $5$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b + 6 \cdot - 4 x^{6} + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.8

将 $6$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b - 24 x^{6} + (- 5 x^{6} - 5 \cdot 4) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.9

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b - 24 x^{6} + (- 5 x^{6} - 20) (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.10

使用 FOIL 方法展开 $(- 5 x^{6} - 20) (b x - 4)$ 。

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解题步骤 6.6.1.10.1

运用分配律。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b - 24 x^{6} - 5 x^{6} (b x - 4) - 20 (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.10.2

运用分配律。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b - 24 x^{6} - 5 x^{6} (b x) - 5 x^{6} \cdot - 4 - 20 (b x - 4)}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.10.3

运用分配律。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b - 24 x^{6} - 5 x^{6} (b x) - 5 x^{6} \cdot - 4 - 20 (b x) - 20 \cdot - 4}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.11

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1.11.1

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1.11.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b - 24 x^{6} - 5 (x \cdot x^{6}) b - 5 x^{6} \cdot - 4 - 20 (b x) - 20 \cdot - 4}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.11.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 6.6.1.11.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b - 24 x^{6} - 5 (x^{1} x^{6}) b - 5 x^{6} \cdot - 4 - 20 (b x) - 20 \cdot - 4}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.11.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b - 24 x^{6} - 5 x^{1 + 6} b - 5 x^{6} \cdot - 4 - 20 (b x) - 20 \cdot - 4}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.11.1.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b - 24 x^{6} - 5 x^{7} b - 5 x^{6} \cdot - 4 - 20 (b x) - 20 \cdot - 4}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.11.2

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b - 24 x^{6} - 5 x^{7} b + 20 x^{6} - 20 (b x) - 20 \cdot - 4}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.1.11.3

将 $- 20$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{x^{7} b + 4 x b + 6 x^{7} b - 24 x^{6} - 5 x^{7} b + 20 x^{6} - 20 b x + 80}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.2

将 $x^{7} b$ 和 $6 x^{7} b$ 相加。

$\frac{7 x^{7} b + 4 x b - 24 x^{6} - 5 x^{7} b + 20 x^{6} - 20 b x + 80}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.3

从 $7 x^{7} b$ 中减去 $5 x^{7} b$ 。

$\frac{4 x b - 24 x^{6} + 2 x^{7} b + 20 x^{6} - 20 b x + 80}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.4

从 $4 x b$ 中减去 $20 b x$ 。

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解题步骤 6.6.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 24 x^{6} + 2 x^{7} b + 20 x^{6} + 4 b x - 20 b x + 80}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.4.2

从 $4 b x$ 中减去 $20 b x$ 。

$\frac{- 24 x^{6} + 2 x^{7} b + 20 x^{6} - 16 b x + 80}{x^{6}}$

解题步骤 6.6.5

将 $- 24 x^{6}$ 和 $20 x^{6}$ 相加。

$\frac{- 4 x^{6} + 2 x^{7} b - 16 b x + 80}{x^{6}}$

解题步骤 6.7

从 $- 4 x^{6} + 2 x^{7} b - 16 b x + 80$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.7.1

从 $- 4 x^{6}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{6}) + 2 x^{7} b - 16 b x + 80}{x^{6}}$

解题步骤 6.7.2

从 $2 x^{7} b$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{6}) + 2 (x^{7} b) - 16 b x + 80}{x^{6}}$

解题步骤 6.7.3

从 $- 16 b x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{6}) + 2 (x^{7} b) + 2 (- 8 b x) + 80}{x^{6}}$

解题步骤 6.7.4

从 $80$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{6}) + 2 (x^{7} b) + 2 (- 8 b x) + 2 \cdot 40}{x^{6}}$

解题步骤 6.7.5

从 $2 (- 2 x^{6}) + 2 (x^{7} b)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{6} + x^{7} b) + 2 (- 8 b x) + 2 \cdot 40}{x^{6}}$

解题步骤 6.7.6

从 $2 (- 2 x^{6} + x^{7} b) + 2 (- 8 b x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{6} + x^{7} b - 8 b x) + 2 \cdot 40}{x^{6}}$

解题步骤 6.7.7

从 $2 (- 2 x^{6} + x^{7} b - 8 b x) + 2 \cdot 40$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 2 x^{6} + x^{7} b - 8 b x + 40)}{x^{6}}$

解题步骤 6.8

从 $- 2 x^{6}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{6}) + x^{7} b - 8 b x + 40)}{x^{6}}$

解题步骤 6.9

从 $x^{7} b$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{6}) - (- x^{7} b) - 8 b x + 40)}{x^{6}}$

解题步骤 6.10

从 $- (2 x^{6}) - (- x^{7} b)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{6} - x^{7} b) - 8 b x + 40)}{x^{6}}$

解题步骤 6.11

从 $- 8 b x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{6} - x^{7} b) - (8 b x) + 40)}{x^{6}}$

解题步骤 6.12

从 $- (2 x^{6} - x^{7} b) - (8 b x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{6} - x^{7} b + 8 b x) + 40)}{x^{6}}$

解题步骤 6.13

将 $40$ 重写为 $- 1 (- 40)$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{6} - x^{7} b + 8 b x) - 1 (- 40))}{x^{6}}$

解题步骤 6.14

从 $- (2 x^{6} - x^{7} b + 8 b x) - 1 (- 40)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (2 x^{6} - x^{7} b + 8 b x - 40))}{x^{6}}$

解题步骤 6.15

将 $- (2 x^{6} - x^{7} b + 8 b x - 40)$ 重写为 $- 1 (2 x^{6} - x^{7} b + 8 b x - 40)$ 。

$\frac{2 (- 1 (2 x^{6} - x^{7} b + 8 b x - 40))}{x^{6}}$

解题步骤 6.16

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (2 x^{6} - x^{7} b + 8 b x - 40)}{x^{6}}$

微积分学 示例

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