微积分学示例

$\tan (x^{2} y^{4}) = 3 x + y^{2}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\tan (x^{2} y^{4})) = \frac{d}{d x} (3 x + y^{2})$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = x^{2} y^{4}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x^{2} y^{4}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

解题步骤 2.1.2

$\tan (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ 。

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

解题步骤 2.1.3

使用 $x^{2} y^{4}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y^{4}$ 。

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $y$ 。

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.3.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.4

将 $4$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 \cdot x^{2} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.5

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + y^{4} (2 x))$

解题步骤 2.7

将 $2$ 移到 $y^{4}$ 的左侧。

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y' + 2 \cdot y^{4} x)$

解题步骤 2.8

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.8.1

运用分配律。

$\sec^{2} (x^{2} y^{4}) (4 x^{2} y^{3} y') + \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y^{4} x)$

解题步骤 2.8.2

重新排序项。

$4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 + 2 y y'$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$2 y y' + 3$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) = 2 y y' + 3$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1.1

将 $4 y^{3} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) y' + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ 中的因式重新排序。

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) = 2 y y' + 3$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $2 y y'$ 。

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) + 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y' = 3$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ 。

$4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y' = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

解题步骤 5.4

从 $4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 2 y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

从 $4 y^{3} x^{2} y' \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) - 2 y y' = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

解题步骤 5.4.2

从 $- 2 y y'$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) + 2 y y' \cdot - 1 = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

解题步骤 5.4.3

从 $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4})) + 2 y y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $2 y y'$ 。

$2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$

解题步骤 5.5

将 $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ 中的每一项除以 $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将 $2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) = 3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ 中的每一项都除以 $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ 。

$\frac{2 y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.1.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.2.2

约去 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.2.2.2

重写表达式。

$\frac{y' (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1} = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.2.3

约去 $2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.2.3.1

约去公因数。

解题步骤 5.5.2.3.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.1.1

约去 $- 2$ 和 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.1.1.1

从 $- 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.1.1.2.1

从 $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 (y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1))}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{2 (- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{2 (y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1))}$

解题步骤 5.5.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.1.2

约去 $y^{4}$ 和 $y$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.1.2.1

从 $- y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})$ 中分解出因数 $y$ 。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{y (- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.1.2.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{y (- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}))}{y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.1.2.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} + \frac{- y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$

解题步骤 5.5.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$

解题步骤 5.5.3.2

要将 $- \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 y}{2 y}$ 。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1} \cdot \frac{2 y}{2 y}$

解题步骤 5.5.3.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.3.1

将 $\frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1}$ 乘以 $\frac{2 y}{2 y}$ 。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{(2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) (2 y)}$

解题步骤 5.5.3.3.2

重新排序 $(2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1) (2 y)$ 的因式。

$y' = \frac{3}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)} - \frac{y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.4

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{3 - y^{3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) (2 y)}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.5.1

通过指数相加将 $y^{3}$ 乘以 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.5.1.1

移动 $y$ 。

$y' = \frac{3 - (y \cdot y^{3}) x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.5.1.2

将 $y$ 乘以 $y^{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.3.5.1.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' = \frac{3 - (y^{1} y^{3}) x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y' = \frac{3 - y^{1 + 3} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.5.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$y' = \frac{3 - y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4}) \cdot 2}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 5.5.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = \frac{3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 2 y^{4} x \sec^{2} (x^{2} y^{4})}{2 y (2 y^{2} x^{2} \sec^{2} (x^{2} y^{4}) - 1)}$

微积分学 示例

微积分学示例