微积分学示例

$2 x \sqrt{x}$

解题步骤 1

将 $2 x \sqrt{x}$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 x \sqrt{x}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 2 x \sqrt{x} d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}} d x$

解题步骤 4.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1

移动 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int 2 (x^{\frac{1}{2}} x) d x$

解题步骤 4.2.2

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) d x$

解题步骤 4.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int 2 x^{\frac{1}{2} + 1} d x$

解题步骤 4.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\int 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} d x$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$\int 2 x^{\frac{1 + 2}{2}} d x$

解题步骤 4.2.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\int 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 5

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

解题步骤 6

根据幂法则， $x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 。

$2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

将 $2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$ 重写为 $2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$ 。

$2 (\frac{2}{5}) x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{2}{5}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 7.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

解题步骤 8

答案是函数 $f (x) = 2 x \sqrt{x}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{4}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

微积分学 示例

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