微积分学示例

$4 x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ 。

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x] + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 。

$4 (x^{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 (x^{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (x^{2} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.4

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$4 (x^{2} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.5

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.7

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [5 x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.8

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5 \frac{d}{d x} [x]) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5 \cdot 1) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.10

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) (2 x))$

解题步骤 3.12

将 $2$ 移到 $3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x$ 的左侧。

$4 (x^{2} (9 x^{2} - 4 x + 5) + 2 \cdot (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + 2 (3 x^{3} - 2 x^{2} + 5 x) x)$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (5 x)) x)$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$4 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 5 + 2 (3 x^{3}) x + 2 (- 2 x^{2}) x + 2 (5 x) x)$

解题步骤 4.4

运用分配律。

$4 (x^{2} (9 x^{2})) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5

合并项。

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解题步骤 4.5.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$4 (x^{2} x^{2} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (x^{2 + 2} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.1.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$4 (x^{4} \cdot 9) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.2

将 $9$ 移到 $x^{4}$ 的左侧。

$4 (9 \cdot x^{4}) + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.3

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$36 x^{4} + 4 (x^{2} (- 4 x)) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.5.4.1

移动 $x$ 。

$36 x^{4} + 4 (x \cdot x^{2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.4.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.5.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$36 x^{4} + 4 (x^{1} x^{2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$36 x^{4} + 4 (x^{1 + 2} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.4.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$36 x^{4} + 4 (x^{3} \cdot - 4) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.5

将 $- 4$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$36 x^{4} + 4 (- 4 \cdot x^{3}) + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.6

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (x^{2} \cdot 5) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.7

将 $5$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (5 \cdot x^{2}) + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.8

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (2 (3 x^{3}) x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.9

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{3} x) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 (x^{1} x^{3})) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{1 + 3}) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.12

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 4 (6 x^{4}) + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.13

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (2 (- 2 x^{2}) x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.14

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{2} x) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 (x^{1} x^{2})) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{1 + 2}) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.17

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} + 4 (- 4 x^{3}) + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.18

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (2 (5 x) x)$

解题步骤 4.5.19

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x \cdot x)$

解题步骤 4.5.20

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 (x^{1} x))$

解题步骤 4.5.21

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 (x^{1} x^{1}))$

解题步骤 4.5.22

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x^{1 + 1})$

解题步骤 4.5.23

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 4 (10 x^{2})$

解题步骤 4.5.24

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$36 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} + 24 x^{4} - 16 x^{3} + 40 x^{2}$

解题步骤 4.5.25

将 $36 x^{4}$ 和 $24 x^{4}$ 相加。

$60 x^{4} - 16 x^{3} + 20 x^{2} - 16 x^{3} + 40 x^{2}$

解题步骤 4.5.26

从 $- 16 x^{3}$ 中减去 $16 x^{3}$ 。

$60 x^{4} - 32 x^{3} + 20 x^{2} + 40 x^{2}$

解题步骤 4.5.27

将 $20 x^{2}$ 和 $40 x^{2}$ 相加。

$60 x^{4} - 32 x^{3} + 60 x^{2}$

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