微积分学示例

$\int_{0}^{1} (\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = x + 1$ 。然后使 $d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = x + 1$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $x + 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 3.1.2

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.1.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 3.2

将下限代入替换 $u_{1} = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 + 1$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 1$

解题步骤 3.4

将上限代入替换 $u_{1} = x + 1$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 1$

解题步骤 3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$u_{upper} = 2$

解题步骤 3.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

解题步骤 3.7

使用 $u_{1}$ 、 $d u_{1}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

解题步骤 4

$\frac{1}{u_{1}}$ 对 $u_{1}$ 的积分为 $\ln (| u_{1} |)$ 。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{0}^{1} \frac{1}{{(x + 4)}^{2}} d x$

解题步骤 5

使 $u_{2} = x + 4$ 。然后使 $d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u_{2} = x + 4$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x + 4$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

解题步骤 5.1.2

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 5.1.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 5.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 5.2

将下限代入替换 $u_{2} = x + 4$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 0 + 4$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$u_{lower} = 4$

解题步骤 5.4

将上限代入替换 $u_{2} = x + 4$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 1 + 4$

解题步骤 5.5

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$u_{upper} = 5$

解题步骤 5.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 5$

解题步骤 5.7

使用 $u_{2}$ 、 $d u_{2}$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

解题步骤 6

应用指数的基本规则。

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解题步骤 6.1

通过将 ${u_{2}}^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

解题步骤 6.2

将 ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

解题步骤 6.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + \int_{4}^{5} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

解题步骤 7

根据幂法则， ${u_{2}}^{- 2}$ 对 $u_{2}$ 的积分是 $- {u_{2}}^{- 1}$ 。

$\ln (| u_{1} |)]_{1}^{2} + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

解题步骤 8

代入并化简。

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解题步骤 8.1

计算 $\ln (| u_{1} |)$ 在 $2$ 处和在 $1$ 处的值。

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + - {u_{2}}^{- 1}]_{4}^{5}$

解题步骤 8.2

计算 $- {u_{2}}^{- 1}$ 在 $5$ 处和在 $4$ 处的值。

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) + (- 5^{- 1}) + 4^{- 1}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + 4^{- 1}$

解题步骤 8.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} + \frac{1}{4}$

解题步骤 8.3.3

要将 $- \frac{1}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 8.3.4

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 8.3.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $20$ 的形式。

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解题步骤 8.3.5.1

将 $\frac{1}{5}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{5 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 8.3.5.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 8.3.5.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{4 \cdot 5}$

解题步骤 8.3.5.4

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{4}{20} + \frac{5}{20}$

解题步骤 8.3.6

在公分母上合并分子。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{- 4 + 5}{20}$

解题步骤 8.3.7

将 $- 4$ 和 $5$ 相加。

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) + \frac{1}{20}$

解题步骤 9

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) + \frac{1}{20}$

解题步骤 10.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\ln (\frac{2}{1}) + \frac{1}{20}$

解题步骤 10.3

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\ln (2) + \frac{1}{20}$

小数形式：

$0.74314718 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

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