微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{\sin (3 x) - 3 x}$

解题步骤 1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

解题步骤 1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 0} e^{- x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

解题步骤 1.2.2

将极限移入指数中。

$\frac{e^{lim_{x \to 0} - x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

解题步骤 1.2.3

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

解题步骤 1.2.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{e^{- lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

解题步骤 1.2.5

化简项。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

解题步骤 1.2.5.2

化简答案。

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解题步骤 1.2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.5.2.1.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

解题步骤 1.2.5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

解题步骤 1.2.5.2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - 3 x}$

解题步骤 1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

解题步骤 1.3.2

把极限移到三角函数里，因为正弦是连续的。

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

解题步骤 1.3.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 3 x}$

解题步骤 1.3.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - 3 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.3.5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0) - 3 lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 1.3.5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{\sin (3 \cdot 0) - 3 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.6

化简答案。

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解题步骤 1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.6.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{\sin (0) - 3 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.6.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 3 \cdot 0}$

解题步骤 1.3.6.1.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.6.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} - 1}{\sin (3 x) - 3 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $e^{- x} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.3.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.3.1.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.3.2

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.3.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{e^{- x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.3.5

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.3.6

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x} + 0}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.5

将 $- e^{- x}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - 3 x]}$

解题步骤 3.6

根据加法法则， $\sin (3 x) - 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ 。

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解题步骤 3.7.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 3 x$ 。

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解题步骤 3.7.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $3 x$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.1.3

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.7.5

将 $3$ 移到 $\cos (3 x)$ 的左侧。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]}$

解题步骤 3.8

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 3.8.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3 \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3 \cdot 1}$

解题步骤 3.8.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{3 \cos (3 x) - 3}$

解题步骤 3.9

重新排序项。

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{- x}}{- 3 + 3 \cos (3 x)}$

解题步骤 4

Since the numerator is negative and the denominator $- 3 + 3 \cos (3 x)$ approaches zero and is less than zero for $x$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$

微积分学 示例

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