微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 1$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.2.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} - 1)}{x^{2}}$

解题步骤 1.9

化简。

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解题步骤 1.9.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - - 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.9.2

化简分子。

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解题步骤 1.9.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} + 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.9.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 1$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.2.5

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x^{2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{3} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.4

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot x^{3} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 x^{3} - (x^{2} + 1) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{2} + 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.7

化简。

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解题步骤 2.7.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 \cdot 1) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.7.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

解题步骤 2.7.3

化简分子。

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解题步骤 2.7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.7.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.7.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

解题步骤 2.7.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.7.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 x^{3} - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

解题步骤 2.7.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

解题步骤 2.7.3.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 \cdot 1 x}{x^{4}}$

解题步骤 2.7.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{3} - 2 x^{3} - 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 2.7.3.2

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{0 - 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 2.7.3.3

从 $0$ 中减去 $2 x$ 。

$\frac{- 2 x}{x^{4}}$

解题步骤 2.7.4

合并项。

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解题步骤 2.7.4.1

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.4.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot - 2}{x^{4}}$

解题步骤 2.7.4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.7.4.1.2.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 2.7.4.1.2.2

约去公因数。

$\frac{x \cdot - 2}{x \cdot x^{3}}$

解题步骤 2.7.4.1.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{x^{3}}$

解题步骤 2.7.4.2

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 3

$f (x)$ 对 $x$ 的二阶导数是 $- \frac{2}{x^{3}}$ 。

$- \frac{2}{x^{3}}$

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