微积分学示例

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 1.5

化简分子。

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解题步骤 1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

解题步骤 1.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

解题步骤 1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 1.7

化简。

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解题步骤 1.7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 1.7.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

解题步骤 2.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3} \cdot - 1})$

解题步骤 2.2.2.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{3}})$

解题步骤 2.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{3}})$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

解题步骤 2.7.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

解题步骤 2.9

组合 $x^{- \frac{4}{3}}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

解题步骤 2.10

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

解题步骤 2.11

乘。

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解题步骤 2.11.1

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = - \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

解题步骤 2.11.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

解题步骤 4.1.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

解题步骤 4.1.5

化简分子。

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解题步骤 4.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

解题步骤 4.1.5.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

解题步骤 4.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.7

化简。

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解题步骤 4.1.7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 4.1.7.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 5.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

解题步骤 6.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

对 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 x^{1} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.4

化简。

$27 x = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 x = 0$

解题步骤 6.3.3

将 $27 x = 0$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $27 x = 0$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 6.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 6.3.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{27}$

解题步骤 6.3.3.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.3.1

用 $0$ 除以 $27$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简表达式。

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解题步骤 9.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$- \frac{2}{9 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 9.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

约去公因数。

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 9.2.2

重写表达式。

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

解题步骤 9.3.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2}{0}$

解题步骤 9.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{2}{0}$

解题步骤 9.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 10.2.2

最终答案为 $\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$ 。

$\frac{2}{3 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \frac{2}{3 {(2)}^{\frac{1}{3}}}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ 移动到分子。

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 10.3.2.2

通过指数相加将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 10.3.2.2.1

将 $2$ 乘以 $2^{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 10.3.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (2) = \frac{2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 10.3.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (2) = \frac{2^{1 - \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 10.3.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}}{3}$

解题步骤 10.3.2.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{3 - 1}{3}}}{3}$

解题步骤 10.3.2.2.4

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 10.4

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

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