微积分学示例

$| x | - 3 | x + 1 |$

解题步骤 1

根据加法法则， $| x | - 3 | x + 1 |$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$ 。

$\frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$

解题步骤 2

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$\frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 | x + 1 |]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 | x + 1 |$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [| x + 1 |]$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 \frac{d}{d x} [| x + 1 |]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.2.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.2.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1])$

解题步骤 3.3

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

解题步骤 3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0))$

解题步骤 3.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x}{| x |} - 3 (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)$

解题步骤 3.7

将 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x}{| x |} - 3 \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

解题步骤 3.8

组合 $- 3$ 和 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 。

$\frac{x}{| x |} + \frac{- 3 (x + 1)}{| x + 1 |}$

解题步骤 3.9

将负号移到分数的前面。

$\frac{x}{| x |} - \frac{3 (x + 1)}{| x + 1 |}$

微积分学 示例