微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (5 x - 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (5 x - 3)$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (5 x - 3) + 1 (5 x - 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (5 x) + x \cdot - 3 + 1 (5 x - 3)}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.1.3

运用分配律。

$lim_{x \to \infty} \frac{x (5 x) + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + x \cdot - 3 + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.2.1.3

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 \cdot x + 1 (5 x) + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.2.1.4

将 $5 x$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 x + 5 x + 1 \cdot - 3}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} - 3 x + 5 x - 3}{x^{2} + 3}$

解题步骤 1.2.2

将 $- 3 x$ 和 $5 x$ 相加。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} + 3}$

解题步骤 2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.1.2

用 $5$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2.2.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.2.2.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.1.3

将负号移到分数的前面。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.5

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 3.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 5

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 6

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 7.2

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{2}}}$

解题步骤 7.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{1 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{5 + 2 \cdot 0 - 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5 + 0 - 3 \cdot 0}{1 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5 + 0 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.3

将 $5 + 0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 + 0}{1 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 9.1.4

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{1 + 3 \cdot 0}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{5}{1 + 0}$

解题步骤 9.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5}{1}$

解题步骤 9.3

用 $5$ 除以 $1$ 。

$5$

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