微积分学示例

$y = \frac{4}{x^{2} - 3 x + 2}$

解题步骤 1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4}{x^{2} - 3 x + 2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}]$

解题步骤 1.2

将 $\frac{1}{x^{2} - 3 x + 2}$ 重写为 ${(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 1}$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 1}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} - 3 x + 2$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 3 x + 2$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{2} - 3 x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 ({(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{2} - 3 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.4

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.6

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2])$

解题步骤 3.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3 + 0)$

解题步骤 3.8

将 $2 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$- 4 {(x^{2} - 3 x + 2)}^{- 2} (2 x - 3)$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 \frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

合并项。

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解题步骤 5.1.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{- 4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$

解题步骤 5.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$

解题步骤 5.2

重新排序 $- \frac{4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}} (2 x - 3)$ 的因式。

$- (2 x - 3) \frac{4}{{(x^{2} - 3 x + 2)}^{2}}$

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