微积分学示例

$\ln (x d x)$

解题步骤 1

将 $\ln (x d x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = \ln (x d x)$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \ln (x d x) d x$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \ln (d (x^{1} x)) d x$

解题步骤 4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \ln (d (x^{1} x^{1})) d x$

解题步骤 4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \ln (d x^{1 + 1}) d x$

解题步骤 4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \ln (d x^{2}) d x$

解题步骤 5

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (d x^{2})$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (d x^{2}) x - \int x \frac{2}{x} d x$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

组合 $x$ 和 $\frac{2}{x}$ 。

$\ln (d x^{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x} d x$

解题步骤 6.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (d x^{2}) x - \int \frac{2 \cdot x}{x} d x$

解题步骤 6.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$\ln (d x^{2}) x - \int \frac{2 x}{x} d x$

解题步骤 6.3.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$\ln (d x^{2}) x - \int 2 d x$

解题步骤 7

应用常数不变法则。

$\ln (d x^{2}) x - (2 x + C)$

解题步骤 8

将 $\ln (d x^{2}) x - (2 x + C)$ 重写为 $\ln (d x^{2}) x - 2 x + C$ 。

$\ln (d x^{2}) x - 2 x + C$

解题步骤 9

答案是函数 $f (x) = \ln (x d x)$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\ln (d x^{2}) x - 2 x + C$

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