微积分学示例

$\int_{1}^{2} 2 x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 1

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int_{1}^{2} x \sqrt{4 + x^{2}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 4 + x^{2}$ 。然后使 $d u = 2 x d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 4 + x^{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $4 + x^{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $4 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 2 x$

解题步骤 2.1.5

将 $0$ 和 $2 x$ 相加。

$2 x$

解题步骤 2.2

将下限代入替换 $u = 4 + x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = 4 + 1^{2}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

一的任意次幂都为一。

$u_{lower} = 4 + 1$

解题步骤 2.3.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$u_{lower} = 5$

解题步骤 2.4

将上限代入替换 $u = 4 + x^{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u_{upper} = 4 + 4$

解题步骤 2.5.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$u_{upper} = 8$

解题步骤 2.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = 8$

解题步骤 2.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$2 \int_{5}^{8} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

解题步骤 3

组合 $\sqrt{u}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$2 \int_{5}^{8} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u)$

解题步骤 5

化简表达式。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.1

约去公因数。

$\frac{2}{2} \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.2.2

重写表达式。

$1 \int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.1.3

将 $\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$ 乘以 $1$ 。

$\int_{5}^{8} \sqrt{u} d u$

解题步骤 5.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int_{5}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 6

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{5}^{8}$

解题步骤 7

代入并化简。

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解题步骤 7.1

计算 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 在 $8$ 处和在 $5$ 处的值。

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.2

化简。

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解题步骤 7.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $8^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.2.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.2.3

将 ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.2.3.2

乘以 $3 (\frac{3}{2})$ 。

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解题步骤 7.2.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.2.3.2.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.2.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.2.7

将 $2$ 和 $9$ 相加。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 7.2.8

组合 $5^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{5^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$

解题步骤 7.2.9

将 $2$ 移到 $5^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3}$

小数形式：

$7.63138474 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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