微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{6 x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x}$

解题步骤 1

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$6 \frac{lim_{x \to 0} x e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.2.2

将极限移入指数中。

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.2.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.2.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.2.5

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$6 \frac{lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.2.6

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.6.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.2.6.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.7.1

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$6 \frac{0 \cdot e^{0 + 9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.2.7.2

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$6 \frac{0 \cdot e^{9}}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.2.7.3

将 $0$ 乘以 $e^{9}$ 。

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + x}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3.2

因为项 $6$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \frac{0}{6 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$6 \frac{0}{6 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \frac{0}{6 \cdot 0^{2} + lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 2.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \frac{0}{6 \cdot 0^{2} + 0}$

解题步骤 2.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.3.5.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$6 \frac{0}{6 \cdot 0 + 0}$

解题步骤 2.1.3.5.1.2

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$6 \frac{0}{0 + 0}$

解题步骤 2.1.3.5.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$6 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.5.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$6 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$6 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$6 (\frac{0}{0})$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9}}{6 x^{2} + x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{- 3 x + 9}]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x e^{- 3 x + 9}]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{- 3 x + 9}$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x + 9}] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 3 x + 9$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 3 x + 9$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $- 3 x + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [- 3 x + 9] + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.4

根据加法法则， $- 3 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.7

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 + \frac{d}{d x} [9]) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.8

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} (- 3 + 0) + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.9

将 $- 3$ 和 $0$ 相加。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x e^{- 3 x + 9} \cdot - 3 + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.10

将 $- 3$ 移到 $e^{- 3 x + 9}$ 的左侧。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 \cdot e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.12

将 $e^{- 3 x + 9}$ 乘以 $1$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 3 e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.13

化简。

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解题步骤 2.3.13.1

重新排序项。

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 e^{- 3 x + 9} x + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.13.2

将 $- 3 e^{- 3 x + 9} x + e^{- 3 x + 9}$ 中的因式重新排序。

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2} + x]}$

解题步骤 2.3.14

根据加法法则， $6 x^{2} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.15

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.15.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.15.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{6 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.15.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{12 x + \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 2.3.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 lim_{x \to 0} \frac{- 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{12 x + 1}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$6 \frac{lim_{x \to 0} - 3 x e^{- 3 x + 9} + e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$6 \frac{- lim_{x \to 0} 3 x e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.3

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.4

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.5

将极限移入指数中。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.7

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.8

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + lim_{x \to 0} e^{- 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.9

将极限移入指数中。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{lim_{x \to 0} - 3 x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.10

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.11

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.12

计算 $9$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + 1}$

解题步骤 3.13

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{lim_{x \to 0} 12 x + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 3.14

因为项 $12$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

解题步骤 3.15

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$6 \frac{- 3 lim_{x \to 0} x \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

解题步骤 4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 lim_{x \to 0} x + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

解题步骤 4.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 lim_{x \to 0} x + 1}$

解题步骤 4.4

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$6 \frac{- 3 \cdot 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$6 \frac{0 \cdot e^{- 3 \cdot 0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$6 \frac{0 \cdot e^{0 + 9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 5.1.3

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$6 \frac{0 \cdot e^{9} + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 5.1.4

将 $0$ 乘以 $e^{9}$ 。

$6 \frac{0 + e^{- 3 \cdot 0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 5.1.5

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$6 \frac{0 + e^{0 + 9}}{12 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 5.1.6

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$6 \frac{0 + e^{9}}{12 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 5.1.7

将 $0$ 和 $e^{9}$ 相加。

$6 \frac{e^{9}}{12 \cdot 0 + 1}$

解题步骤 5.2

化简分母。

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解题步骤 5.2.1

将 $12$ 乘以 $0$ 。

$6 \frac{e^{9}}{0 + 1}$

解题步骤 5.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$6 \frac{e^{9}}{1}$

解题步骤 5.3

用 $e^{9}$ 除以 $1$ 。

$6 e^{9}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$6 e^{9}$

小数形式：

$48618.50356545 \dots$

微积分学 示例

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