微积分学示例

$lim_{x \to 3} x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 1$

解题步骤 1

当 $x$ 趋于 $3$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$lim_{x \to 3} x^{4} + lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

解题步骤 2

使用极限幂法则把 $x^{4}$ 的指数 $4$ 移到极限外。

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + lim_{x \to 3} x^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

解题步骤 3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - lim_{x \to 3} 4 x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

解题步骤 4

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

解题步骤 5

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} 2 x + lim_{x \to 3} 1$

解题步骤 6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1$

解题步骤 7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $3$ 时此极限值为常数。

${(lim_{x \to 3} x)}^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

解题步骤 8

将 $3$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 8.1

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3^{4} + {(lim_{x \to 3} x)}^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

解题步骤 8.2

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3^{4} + 3^{3} - 4 {(lim_{x \to 3} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

解题步骤 8.3

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3^{4} + 3^{3} - 4 \cdot 3^{2} - 2 lim_{x \to 3} x + 1$

解题步骤 8.4

将 $3$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3^{4} + 3^{3} - 4 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 1$

解题步骤 9

化简答案。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$81 + 3^{3} - 4 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 1$

解题步骤 9.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$81 + 27 - 4 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 + 1$

解题步骤 9.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$81 + 27 - 4 \cdot 9 - 2 \cdot 3 + 1$

解题步骤 9.1.4

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$81 + 27 - 36 - 2 \cdot 3 + 1$

解题步骤 9.1.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$81 + 27 - 36 - 6 + 1$

解题步骤 9.2

将 $81$ 和 $27$ 相加。

$108 - 36 - 6 + 1$

解题步骤 9.3

从 $108$ 中减去 $36$ 。

$72 - 6 + 1$

解题步骤 9.4

从 $72$ 中减去 $6$ 。

$66 + 1$

解题步骤 9.5

将 $66$ 和 $1$ 相加。

$67$

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