微积分学示例

$lim_{x \to 0} {(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})}$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{4}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(2 - e^{\frac{x}{2}})}^{\frac{4}{x}})$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\frac{4}{x} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{4}{x} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}$

解题步骤 2.2

组合 $\frac{4}{x}$ 和 $\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})$ 。

$e^{lim_{x \to 0} \frac{4 \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x}}$

解题步骤 2.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x}}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{4 \frac{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将极限移入对数中。

$e^{4 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.1.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{4 \frac{\ln (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.1.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{4 \frac{\ln (2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.1.4

将极限移入指数中。

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}})}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.1.5

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x})}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0})}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 3.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.3.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$e^{4 \frac{\ln (2 - e^{0})}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.3.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e^{4 \frac{\ln (2 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 \frac{\ln (2 - 1)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.3.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$e^{4 \frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.2.3.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

解题步骤 3.1.3

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{4 (\frac{0}{0})}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{4 (\frac{0}{0})}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{\frac{x}{2}})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 - e^{\frac{x}{2}}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 - e^{\frac{x}{2}}$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.2.3

使用 $2 - e^{\frac{x}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.3

根据加法法则， $2 - e^{\frac{x}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]$ 相加。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [- e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{\frac{x}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.7.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.7.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot - 1 e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.8

组合 $\frac{1}{2 - e^{\frac{x}{2}}}$ 和 $e^{\frac{x}{2}}$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.9

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}} \cdot \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.10

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}}$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.11

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.12

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

解题步骤 3.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} \frac{- \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}{1}}$

解题步骤 3.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{4 lim_{x \to 0} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})} \cdot 1}$

解题步骤 3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 lim_{x \to 0} - \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{4 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 (2 - e^{\frac{x}{2}})}}$

解题步骤 4.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

解题步骤 4.4

将极限移入指数中。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

解题步骤 4.5

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 - e^{\frac{x}{2}}}}$

解题步骤 4.6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}}$

解题步骤 4.7

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - lim_{x \to 0} e^{\frac{x}{2}}}}$

解题步骤 4.8

将极限移入指数中。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - e^{lim_{x \to 0} \frac{x}{2}}}}$

解题步骤 4.9

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}{2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 5.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} lim_{x \to 0} x}}}$

解题步骤 5.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{4 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- 4 (\frac{1}{2}) \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

解题步骤 6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 (- 2) \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

$e^{2 \cdot - 2 \frac{1}{2} \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

解题步骤 6.2.3

重写表达式。

$e^{- 2 \frac{e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

解题步骤 6.3

化简分子。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$e^{- 2 \frac{e^{0}}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

解题步骤 6.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e^{- 2 \frac{1}{2 - e^{\frac{1}{2} \cdot 0}}}$

解题步骤 6.4

化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $0$ 。

$e^{- 2 \frac{1}{2 - e^{0}}}$

解题步骤 6.4.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$e^{- 2 \frac{1}{2 - 1 \cdot 1}}$

解题步骤 6.4.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2 \frac{1}{2 - 1}}$

解题步骤 6.4.4

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

解题步骤 6.5

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

约去公因数。

$e^{- 2 (\frac{1}{1})}$

解题步骤 6.5.2

重写表达式。

$e^{- 2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 2}$

解题步骤 6.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e^{2}}$

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