微积分学示例

$f (x) = \frac{3}{x}$ , $[1, 7]$

解题步骤 1

要求函数的平均值，该函数应在闭区间 $[a, b]$ 上连续。要求 $f (x)$ 在 $[1, 7]$ 上是否连续，需要求出 $f (x) = \frac{3}{x}$ 的定义域。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{3}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 1.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

区间计数法：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq 0}$

解题步骤 2

$f (x)$ 在 $[1, 7]$ 上连续。

$f (x)$ 是连续的

解题步骤 3

函数 $f$ 在区间 $[a, b]$ 上的平均值定义为 $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ 。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

解题步骤 4

将实际值代入公式中以求函数的平均值。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (\int_{1}^{7} \frac{3}{x} d x)$

解题步骤 5

由于 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $3$ 移到积分外。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \int_{1}^{7} \frac{1}{x} d x)$

解题步骤 6

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| x |)]_{1}^{7}))$

解题步骤 7

化简答案。

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解题步骤 7.1

计算 $\ln (| x |)$ 在 $7$ 处和在 $1$ 处的值。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 (\ln (| 7 |) - \ln (| 1 |)))$

解题步骤 7.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{| 7 |}{| 1 |}))$

解题步骤 7.3

化简。

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解题步骤 7.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $7$ 之间的距离为 $7$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{| 1 |}))$

解题步骤 7.3.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (\frac{7}{1}))$

解题步骤 7.3.3

用 $7$ 除以 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{7 - 1} (3 \ln (7))$

解题步骤 8

从 $7$ 中减去 $1$ 。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot (3 \ln (7))$

解题步骤 9

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 \ln (7))$

解题步骤 9.2

从 $3 \ln (7)$ 中分解出因数 $3$ 。

$A (x) = \frac{1}{3 (2)} \cdot (3 (\ln (7)))$

解题步骤 9.3

约去公因数。

$A (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \ln (7))$

解题步骤 9.4

重写表达式。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (7)$

解题步骤 10

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \cdot \ln (7)$ 。

$A (x) = \ln (7^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 11

微积分学 示例

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