微积分学示例

$- 3 - 4 x^{3} = 2 y + x y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (- 3 - 4 x^{3}) = \frac{d}{d x} (2 y + x y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $- 3 - 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.1.2

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$0 - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$0 - 4 (3 x^{2})$

解题步骤 2.2.3

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$0 - 12 x^{2}$

解题步骤 2.3

从 $0$ 中减去 $12 x^{2}$ 。

$- 12 x^{2}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 y + x y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 y]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 y$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [y]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y' + \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [x y]$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$2 y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 y' + x y' + y \cdot 1$

解题步骤 3.3.4

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 y' + x y' + y$

解题步骤 3.4

重新排序项。

$x y' + y + 2 y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 12 x^{2} = x y' + y + 2 y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $x y' + y + 2 y' = - 12 x^{2}$ 。

$x y' + y + 2 y' = - 12 x^{2}$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$x y' + 2 y' = - 12 x^{2} - y$

解题步骤 5.3

从 $x y' + 2 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $x y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x + 2 y' = - 12 x^{2} - y$

解题步骤 5.3.2

从 $2 y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x + y' \cdot 2 = - 12 x^{2} - y$

解题步骤 5.3.3

从 $y' x + y' \cdot 2$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$

解题步骤 5.4

将 $y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$ 中的每一项除以 $x + 2$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $y' (x + 2) = - 12 x^{2} - y$ 中的每一项都除以 $x + 2$ 。

$\frac{y' (x + 2)}{x + 2} = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 2)}{x + 2} = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{12 x^{2}}{x + 2} + \frac{- y}{x + 2}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{12 x^{2}}{x + 2} - \frac{y}{x + 2}$

解题步骤 5.4.3.2

化简项。

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解题步骤 5.4.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 12 x^{2} - y}{x + 2}$

解题步骤 5.4.3.2.2

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (12 x^{2}) - y}{x + 2}$

解题步骤 5.4.3.2.3

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (12 x^{2}) - (y)}{x + 2}$

解题步骤 5.4.3.2.4

从 $- (12 x^{2}) - (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (12 x^{2} + y)}{x + 2}$

解题步骤 5.4.3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 5.4.3.2.5.1

将 $- (12 x^{2} + y)$ 重写为 $- 1 (12 x^{2} + y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (12 x^{2} + y)}{x + 2}$

解题步骤 5.4.3.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{12 x^{2} + y}{x + 2}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{12 x^{2} + y}{x + 2}$

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