微积分学示例

$\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} d x$

解题步骤 4

将 $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ 转换成 $\sec^{2} (2 x)$ 。

$\int \sec^{2} (2 x) d x$

解题步骤 5

使 $u = 2 x$ 。然后使 $d u = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 5.1

设 $u = 2 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 5.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 5.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 5.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{2} d u$

解题步骤 6

组合 $\sec^{2} (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{2} d u$

解题步骤 7

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u) d u$

解题步骤 8

因为 $\tan (u)$ 的导数为 $\sec^{2} (u)$ ，所以 $\sec^{2} (u)$ 的积分为 $\tan (u)$ 。

$\frac{1}{2} (\tan (u) + C)$

解题步骤 9

化简。

$\frac{1}{2} \tan (u) + C$

解题步骤 10

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

解题步骤 11

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \tan (2 x) + C$

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