微积分学示例

$y = x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π)$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x + 3 \ln (5 x) - 4 x^{2} + e^{2 x} - π$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 \ln (5 x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 \ln (5 x)$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)]$ 。

$1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (5 x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$1 + 3 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.2.2.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.2.2.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.2.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} (5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.2.5

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$1 + 3 (\frac{1}{5 x} \cdot 5) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.2.6

组合 $\frac{1}{5 x}$ 和 $5$ 。

$1 + 3 \frac{5}{5 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.2.7

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.7.1

约去公因数。

$1 + 3 \frac{5}{5 x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.2.7.2

重写表达式。

$1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.2.8

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$1 + \frac{3}{x} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$1 + \frac{3}{x} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.4.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.4.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.4.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.4.5

将 $2$ 移到 $e^{2 x}$ 的左侧。

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- π]$

解题步骤 3.5

因为 $- π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- π$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x} + 0$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$1 + \frac{3}{x} - 8 x + 2 e^{2 x}$

解题步骤 3.6.2

重新排序项。

$- 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 8 x + \frac{3}{x} + 2 e^{2 x} + 1$

微积分学 示例

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