微积分学示例

$\frac{2 x}{e^{2 x}}$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{e^{2 x}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{e^{2 x}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{2 x}$ 。

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将 ${(e^{2 x})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

解题步骤 3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{e^{2 x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

解题步骤 3.3

将 $e^{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{e^{2 x} - x \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

解题步骤 4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$2 \frac{e^{2 x} - x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

解题步骤 4.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

解题步骤 4.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])}{e^{4 x}}$

解题步骤 5

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{e^{2 x} - x (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{4 x}}$

解题步骤 5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x (e^{2 x} \cdot 1)}{e^{4 x}}$

解题步骤 5.4

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

将 $e^{2 x}$ 乘以 $1$ 。

$2 \frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

解题步骤 5.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{e^{2 x} - 2 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$ 。

$\frac{2 (e^{2 x} - 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

解题步骤 6

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{2 e^{2 x} + 2 (- 2 x e^{2 x})}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 e^{2 x} - 4 x e^{2 x}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.4

从 $- 4 e^{2 x} x + 2 e^{2 x}$ 中分解出因数 $2 e^{2 x}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.4.1

从 $- 4 e^{2 x} x$ 中分解出因数 $2 e^{2 x}$ 。

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x}}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.4.2

从 $2 e^{2 x}$ 中分解出因数 $2 e^{2 x}$ 。

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.4.3

从 $2 e^{2 x} (- 2 x) + 2 e^{2 x} (1)$ 中分解出因数 $2 e^{2 x}$ 。

$\frac{2 e^{2 x} (- 2 x + 1)}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.5

约去 $e^{2 x}$ 和 $e^{4 x}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.1

从 $2 e^{2 x} (- 2 x + 1)$ 中分解出因数 $e^{4 x}$ 。

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x}}$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.5.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

解题步骤 6.5.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{4 x} (2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1))}{e^{4 x} \cdot 1}$

解题步骤 6.5.2.3

重写表达式。

$\frac{2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)}{1}$

解题步骤 6.5.2.4

用 $2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$ 除以 $1$ 。

$2 e^{- 2 x} (- 2 x + 1)$

解题步骤 6.6

运用分配律。

$2 e^{- 2 x} (- 2 x) + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

解题步骤 6.7

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x} \cdot 1$

解题步骤 6.8

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 \cdot - 2 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

解题步骤 6.9

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$

解题步骤 6.10

将 $- 4 e^{- 2 x} x + 2 e^{- 2 x}$ 中的因式重新排序。

$- 4 x e^{- 2 x} + 2 e^{- 2 x}$

微积分学 示例

微积分学示例