微积分学示例

$f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int 7 x {(x - 1)}^{6} d x$

解题步骤 3

由于 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $7$ 移到积分外。

$7 \int x {(x - 1)}^{6} d x$

解题步骤 4

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 4.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 4.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$7 \int (u + 1) u^{6} d u$

解题步骤 5

乘以 $(u + 1) u^{6}$ 。

$7 \int u \cdot u^{6} + 1 u^{6} d u$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u^{6}$ 。

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解题步骤 6.1.1

将 $u$ 乘以 $u^{6}$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$7 \int u^{1} u^{6} + 1 u^{6} d u$

解题步骤 6.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7 \int u^{1 + 6} + 1 u^{6} d u$

解题步骤 6.1.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$7 \int u^{7} + 1 u^{6} d u$

解题步骤 6.2

将 $u^{6}$ 乘以 $1$ 。

$7 \int u^{7} + u^{6} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$7 (\int u^{7} d u + \int u^{6} d u)$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{7}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{8} u^{8}$ 。

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \int u^{6} d u)$

解题步骤 9

根据幂法则， $u^{6}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{7} u^{7}$ 。

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

解题步骤 10

化简。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

组合 $\frac{1}{8}$ 和 $u^{8}$ 。

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{1}{7} u^{7} + C)$

解题步骤 10.1.2

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $u^{7}$ 。

$7 (\frac{u^{8}}{8} + C + \frac{u^{7}}{7} + C)$

解题步骤 10.2

化简。

$7 (\frac{1}{8} u^{8} + \frac{1}{7} u^{7}) + C$

解题步骤 11

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = 7 x {(x - 1)}^{6}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $7 (\frac{1}{8} {(x - 1)}^{8} + \frac{1}{7} {(x - 1)}^{7}) + C$

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