微积分学示例

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{3 x}{2}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{2 x}{3} + \frac{3 x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

解题步骤 1.2.3

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2}$

解题步骤 1.4

合并项。

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解题步骤 1.4.1

要将 $\frac{2}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 1.4.2

要将 $\frac{3}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.4.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 1.4.3.1

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.4.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 1.4.3.3

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}$

解题步骤 1.4.3.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6}$

解题步骤 1.4.4

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{6}$

解题步骤 1.4.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 + 3 \cdot 3}{6}$

解题步骤 1.4.5.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 + 9}{6}$

解题步骤 1.4.5.3

将 $4$ 和 $9$ 相加。

$f' (x) = \frac{13}{6}$

解题步骤 2

因为 $\frac{13}{6}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{13}{6}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0$

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