微积分学示例

$y = \arcsin (\frac{1}{\sqrt{x}})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 2

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}))$

解题步骤 3

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 4

对方程右边求微分。

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解题步骤 4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arcsin (x)$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.1.2

$\arcsin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.1.3

使用 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.2.1

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 4.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

解题步骤 4.2.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 1$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

解题步骤 4.6.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

解题步骤 4.8

组合 $x^{- \frac{3}{2}}$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}} (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 4.9

将 $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$ 乘以 $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ 。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} \cdot 2}$

解题步骤 4.10

化简表达式。

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解题步骤 4.10.1

将 $2$ 移到 $\sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}$ 的左侧。

$- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2 \cdot \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}}}$

解题步骤 4.10.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - {(\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11

化简。

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解题步骤 4.11.1

对 $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1^{2}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.2

合并项。

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解题步骤 4.11.2.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.2.2

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.11.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.2.2.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.2.2.2.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^{1}}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.2.3

化简。

$- \frac{1}{2 \sqrt{1 - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3

化简分母。

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解题步骤 4.11.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.2

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x - 1}{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.3

将 $\sqrt{\frac{x - 1}{x}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ 。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.4

将 $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$- \frac{1}{2 (\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}) x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.5

合并和化简分母。

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解题步骤 4.11.3.5.1

将 $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.5.2

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.5.3

对 $\sqrt{x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.5.6

将 ${\sqrt{x}}^{2}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 4.11.3.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.3.5.6.4.1

约去公因数。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.5.6.4.2

重写表达式。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x^{1}} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.5.6.5

化简。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.6

使用根数乘积法则进行合并。

$- \frac{1}{2 \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.7

合并指数。

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解题步骤 4.11.3.7.1

组合 $2$ 和 $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{x}$ 。

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x} x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.7.2

组合 $\frac{2 \sqrt{(x - 1) x}}{x}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$- \frac{1}{\frac{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}}}{x}}$

解题步骤 4.11.3.8

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 4.11.3.8.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $x^{1}$ 移动到分子。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}}$

解题步骤 4.11.3.8.2

通过指数相加将 $x^{\frac{3}{2}}$ 乘以 $x^{- 1}$ 。

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解题步骤 4.11.3.8.2.1

移动 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} (x^{- 1} x^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 4.11.3.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.8.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.8.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.8.2.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.8.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.11.3.8.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{- 2 + 3}{2}}}$

解题步骤 4.11.3.8.2.6.2

将 $- 2$ 和 $3$ 相加。

$- \frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.11.4

将 $\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ 。

$- (\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}})$

解题步骤 4.11.5

合并和化简分母。

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解题步骤 4.11.5.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(x - 1) x}}{\sqrt{(x - 1) x}}$ 。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 \sqrt{(x - 1) x} x^{\frac{1}{2}} \sqrt{(x - 1) x}}$

解题步骤 4.11.5.2

移动 $\sqrt{(x - 1) x}$ 。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} (\sqrt{(x - 1) x} \sqrt{(x - 1) x})}$

解题步骤 4.11.5.3

对 $\sqrt{(x - 1) x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} \sqrt{(x - 1) x})}$

解题步骤 4.11.5.4

对 $\sqrt{(x - 1) x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ({\sqrt{(x - 1) x}}^{1} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1})}$

解题步骤 4.11.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.11.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {\sqrt{(x - 1) x}}^{2}}$

解题步骤 4.11.5.7

将 ${\sqrt{(x - 1) x}}^{2}$ 重写为 $(x - 1) x$ 。

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解题步骤 4.11.5.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(x - 1) x}$ 重写成 ${((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {({((x - 1) x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.11.5.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.11.5.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.11.5.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.11.5.7.4.1

约去公因数。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.11.5.7.4.2

重写表达式。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} {((x - 1) x)}^{1}}$

解题步骤 4.11.5.7.5

化简。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{1}{2}} ((x - 1) x)}$

解题步骤 4.11.6

通过指数相加将 $x^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.11.6.1

移动 $x$ 。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

解题步骤 4.11.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.11.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) (x - 1)}$

解题步骤 4.11.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{1 + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

解题步骤 4.11.6.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x - 1)}$

解题步骤 4.11.6.4

在公分母上合并分子。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}} (x - 1)}$

解题步骤 4.11.6.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

解题步骤 4.11.7

将 $- \frac{\sqrt{(x - 1) x}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

解题步骤 5

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sqrt{x (x - 1)}}{2 x^{\frac{3}{2}} (x - 1)}$

微积分学 示例

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