微积分学示例

$\sum_{i = 1}^{50} (5 i - 2) (i + 3)$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

使用 FOIL 方法展开 $(5 i - 2) (i + 3)$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$5 i (i + 3) - 2 (i + 3)$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 (i + 3)$

解题步骤 1.1.3

运用分配律。

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

$5 i \cdot i + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

解题步骤 1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

通过指数相加将 $i$ 乘以 $i$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.1

移动 $i$ 。

$5 (i \cdot i) + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

解题步骤 1.2.1.1.2

将 $i$ 乘以 $i$ 。

$5 i^{2} + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

$5 i^{2} + 5 i \cdot 3 - 2 i - 2 \cdot 3$

解题步骤 1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 2 \cdot 3$

解题步骤 1.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 6$

$5 i^{2} + 15 i - 2 i - 6$

解题步骤 1.2.2

从 $15 i$ 中减去 $2 i$ 。

$5 i^{2} + 13 i - 6$

$5 i^{2} + 13 i - 6$

解题步骤 1.3

重写该总和。

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6$

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6$

解题步骤 2

将总和分解成适用总和法则的更小总和。

$\sum_{i = 1}^{50} 5 i^{2} + 13 i - 6 = 5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2} + 13 \sum_{i = 1}^{50} i + \sum_{i = 1}^{50} - 6$

解题步骤 3

计算 $5 \sum_{i = 1}^{50} i^{2}$ 。

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解题步骤 3.1

度数为 $2$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

解题步骤 3.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(5) (\frac{50 (50 + 1) (2 \cdot 50 + 1)}{6})$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $50$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{50 \cdot 51 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.2

合并指数。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $50$ 乘以 $51$ 。

$5 \frac{2550 (2 \cdot 50 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $50$ 。

$5 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

$5 \frac{2550 (100 + 1)}{6}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $100$ 和 $1$ 相加。

$5 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

$5 \frac{2550 \cdot 101}{6}$

解题步骤 3.3.2

化简表达式。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $2550$ 乘以 $101$ 。

$5 (\frac{257550}{6})$

解题步骤 3.3.2.2

用 $257550$ 除以 $6$ 。

$5 \cdot 42925$

解题步骤 3.3.2.3

将 $5$ 乘以 $42925$ 。

$214625$

$214625$

$214625$

$214625$

解题步骤 4

计算 $13 \sum_{i = 1}^{50} i$ 。

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解题步骤 4.1

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 4.2

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(13) (\frac{50 (50 + 1)}{2})$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $50$ 和 $1$ 相加。

$13 \frac{50 \cdot 51}{2}$

解题步骤 4.3.2

将 $50$ 乘以 $51$ 。

$13 (\frac{2550}{2})$

解题步骤 4.3.3

用 $2550$ 除以 $2$ 。

$13 \cdot 1275$

解题步骤 4.3.4

将 $13$ 乘以 $1275$ 。

$16575$

$16575$

$16575$

解题步骤 5

计算 $\sum_{i = 1}^{50} - 6$ 。

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解题步骤 5.1

常数求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

解题步骤 5.2

将值代入公式中。

$(- 6) (50)$

解题步骤 5.3

将 $- 6$ 乘以 $50$ 。

$- 300$

$- 300$

解题步骤 6

将求和的总和相加。

$214625 + 16575 - 300$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $214625$ 和 $16575$ 相加。

$231200 - 300$

解题步骤 7.2

从 $231200$ 中减去 $300$ 。

$230900$

$230900$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$