微积分学示例

$y = x^{4} \sin (x)$

解题步骤 1

设 $y = f (x)$ ，对 $\ln (y) = \ln (f (x))$ 两边取自然对数。

$\ln (y) = \ln (x^{4} \sin (x))$

解题步骤 2

展开右边。

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解题步骤 2.1

将 $\ln (x^{4} \sin (x))$ 重写为 $\ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$ 。

$\ln (y) = \ln (x^{4}) + \ln (\sin (x))$

解题步骤 2.2

通过将 $4$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{4})$ 。

$\ln (y) = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

解题步骤 3

使用链式法则对表达式求导，记住 $y$ 是 $x$ 的函数。

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解题步骤 3.1

用链式法则对 $\ln (y)$ 的左边求导。

$\frac{y'}{y} = 4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

解题步骤 3.2

对右边求导。

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解题步骤 3.2.1

对 $4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ 求导。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

解题步骤 3.2.2

根据加法法则， $4 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

解题步骤 3.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ 。

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解题步骤 3.2.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

解题步骤 3.2.3.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = 4 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

解题步骤 3.2.3.3

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

解题步骤 3.2.4

计算 $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.2.4.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.2.4.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.2.4.1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3.2.4.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

解题步骤 3.2.4.3

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{4}{x} + \csc (x) \cos (x)$

解题步骤 3.2.5

化简。

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解题步骤 3.2.5.1

重新排序项。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{4}{x}$

解题步骤 3.2.5.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.5.2.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

解题步骤 3.2.5.2.2

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{1}{\sin (x)}$ 。

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}$

解题步骤 3.2.5.3

将 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 转换成 $\cot (x)$ 。

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{4}{x}$

解题步骤 4

分离出 $y'$ ，将原函数代入右边的 $y$ 。

$y' = (\cot (x) + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{4}{x}) (x^{4} \sin (x))$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{4} \sin (x)) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

解题步骤 5.3

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

从 $x^{4} \sin (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

解题步骤 5.3.2

约去公因数。

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{4}) + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

解题步骤 5.3.3

重写表达式。

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x^{4} \sin (x))$

解题步骤 5.4

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $x^{4} \sin (x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

$y' = \cos (x) x^{4} + \frac{4}{x} (x (x^{3} \sin (x)))$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

$y' = \cos (x) x^{4} + 4 (x^{3} \sin (x))$

解题步骤 5.5

将 $\cos (x) x^{4} + 4 x^{3} \sin (x)$ 中的因式重新排序。

$y' = x^{4} \cos (x) + 4 x^{3} \sin (x)$

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