微积分学示例

$\int_{e}^{e^{2}} \ln (x) d x$

解题步骤 1

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \ln (x)$ ， $d v = 1$ 。

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} x \frac{1}{x} d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} \frac{x}{x} d x$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - \int_{e}^{e^{2}} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$\ln (x) x]_{e}^{e^{2}} - (x]_{e}^{e^{2}})$

解题步骤 4

代入并化简。

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解题步骤 4.1

计算 $\ln (x) x$ 在 $e^{2}$ 处和在 $e$ 处的值。

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - (x]_{e}^{e^{2}})$

解题步骤 4.2

计算 $x$ 在 $e^{2}$ 处和在 $e$ 处的值。

$(\ln (e^{2}) e^{2}) - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

使用对数规则把 $2$ 移到指数外部。

$2 \ln (e) e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

解题步骤 4.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$2 \cdot 1 e^{2} - \ln (e) e - ((e^{2}) - e)$

解题步骤 4.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{2} - \ln (e) e - (e^{2} - e)$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$2 e^{2} - 1 \cdot 1 e - (e^{2} - e)$

解题步骤 5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{2} - e - (e^{2} - e)$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$2 e^{2} - e - e^{2} - - e$

解题步骤 5.1.4

乘以 $- - e$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 e^{2} - e - e^{2} + 1 e$

解题步骤 5.1.4.2

将 $e$ 乘以 $1$ 。

$2 e^{2} - e - e^{2} + e$

解题步骤 5.2

从 $2 e^{2}$ 中减去 $e^{2}$ 。

$e^{2} - e + e$

解题步骤 5.3

将 $- e$ 和 $e$ 相加。

$e^{2} + 0$

解题步骤 5.4

将 $e^{2}$ 和 $0$ 相加。

$e^{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e^{2}$

小数形式：

$7.38905609 \dots$

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