微积分学示例

$\int_{0}^{1} (1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3}) d x$

解题步骤 1

去掉圆括号。

$\int_{0}^{1} 1 + 4 x + 9 x^{2} + 16 x^{3} d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

解题步骤 3

应用常数不变法则。

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 4 x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

解题步骤 4

由于 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $4$ 移到积分外。

$x]_{0}^{1} + 4 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

解题步骤 6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 9 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

解题步骤 7

由于 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $9$ 移到积分外。

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

解题步骤 9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 16 x^{3} d x$

解题步骤 10

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 \int_{0}^{1} x^{3} d x$

解题步骤 11

根据幂法则， $x^{3}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{4} x^{4}$ 。

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

解题步骤 12

化简答案。

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解题步骤 12.1

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $x^{4}$ 。

$x]_{0}^{1} + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

解题步骤 12.2

代入并化简。

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解题步骤 12.2.1

计算 $x$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$(1) + 0 + 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

解题步骤 12.2.2

计算 $\frac{x^{2}}{2}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

解题步骤 12.2.3

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

解题步骤 12.2.4

计算 $\frac{x^{4}}{4}$ 在 $1$ 处和在 $0$ 处的值。

$1 + 0 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5

化简。

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解题步骤 12.2.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1 + 4 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.2

一的任意次幂都为一。

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.4

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.4.1

从 $0$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.4.2.2

约去公因数。

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.4.2.3

重写表达式。

$1 + 4 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.4.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} - 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$1 + 4 (\frac{1}{2} + 0) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.6

将 $\frac{1}{2}$ 和 $0$ 相加。

$1 + 4 (\frac{1}{2}) + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.7

组合 $4$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$1 + \frac{4}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.8

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.8.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.8.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.8.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.8.2.2

约去公因数。

$1 + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.8.2.3

重写表达式。

$1 + \frac{2}{1} + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.8.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$1 + 2 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.9

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 + 9 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.10

一的任意次幂都为一。

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.11

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.12

约去 $0$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.12.1

从 $0$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.12.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.12.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.12.2.2

约去公因数。

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.12.2.3

重写表达式。

$3 + 9 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.12.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$3 + 9 (\frac{1}{3} - 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.13

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$3 + 9 (\frac{1}{3} + 0) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.14

将 $\frac{1}{3}$ 和 $0$ 相加。

$3 + 9 (\frac{1}{3}) + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.15

组合 $9$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$3 + \frac{9}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.16

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.16.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.16.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.16.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.16.2.2

约去公因数。

$3 + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.16.2.3

重写表达式。

$3 + \frac{3}{1} + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.16.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$3 + 3 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.17

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$6 + 16 (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.18

一的任意次幂都为一。

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

解题步骤 12.2.5.19

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

解题步骤 12.2.5.20

约去 $0$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.20.1

从 $0$ 中分解出因数 $4$ 。

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

解题步骤 12.2.5.20.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.20.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

解题步骤 12.2.5.20.2.2

约去公因数。

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

解题步骤 12.2.5.20.2.3

重写表达式。

$6 + 16 (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

解题步骤 12.2.5.20.2.4

用 $0$ 除以 $1$ 。

$6 + 16 (\frac{1}{4} - 0)$

解题步骤 12.2.5.21

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$6 + 16 (\frac{1}{4} + 0)$

解题步骤 12.2.5.22

将 $\frac{1}{4}$ 和 $0$ 相加。

$6 + 16 (\frac{1}{4})$

解题步骤 12.2.5.23

组合 $16$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$6 + \frac{16}{4}$

解题步骤 12.2.5.24

约去 $16$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.5.24.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 12.2.5.24.2

约去公因数。

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解题步骤 12.2.5.24.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

解题步骤 12.2.5.24.2.2

约去公因数。

$6 + \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

解题步骤 12.2.5.24.2.3

重写表达式。

$6 + \frac{4}{1}$

解题步骤 12.2.5.24.2.4

用 $4$ 除以 $1$ 。

$6 + 4$

解题步骤 12.2.5.25

将 $6$ 和 $4$ 相加。

$10$

解题步骤 13

微积分学 示例

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