微积分学示例

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 1

将 $\frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 5

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int {(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2} d x$

解题步骤 6

展开 ${(x^{2} - 1)}^{2} x^{- 2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 。

$\int (x^{2} - 1) (x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\int (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x^{- 2} d x$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 6.5

运用分配律。

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1) x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 6.6

运用分配律。

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} + (- 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x^{- 2} d x$

解题步骤 6.7

运用分配律。

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot - 1 x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.8

将 $x^{2}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.10

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{4} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.12

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.13

提取负因数。

$\int x^{2} - (x^{2} x^{- 2}) - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.14

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2} - x^{2 - 2} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.15

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{2} - x^{0} - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.16

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int x^{2} - 1 \cdot 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.17

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{2} - 1 - 1 x^{2} x^{- 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.18

提取负因数。

$\int x^{2} - 1 - (x^{2} x^{- 2}) - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2} - 1 - x^{2 - 2} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.20

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{2} - 1 - x^{0} - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.21

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\int x^{2} - 1 - 1 \cdot 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.22

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{2} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.23

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{2} - 1 - 1 + 1 x^{- 2} d x$

解题步骤 6.24

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{2} - 1 - 1 + x^{- 2} d x$

解题步骤 6.25

从 $- 1$ 中减去 $1$ 。

$\int x^{2} - 2 + x^{- 2} d x$

解题步骤 6.26

将 $- 2$ 和 $x^{- 2}$ 重新排序。

$\int x^{2} + x^{- 2} - 2 d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int - 2 d x$

解题步骤 9

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int - 2 d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C - 2 x + C$

解题步骤 11

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

化简。

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

解题步骤 11.2

重新排序项。

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2}}{x^{2}}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} - 2 x + C$

微积分学 示例

微积分学示例