微积分学示例

${(\frac{1}{x})}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(\frac{1}{x})}^{2}$ 书写为一个函数。

$f (x) = {(\frac{1}{x})}^{2}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int {(\frac{1}{x})}^{2} d x$

解题步骤 4

化简表达式。

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解题步骤 4.1

对 $\frac{1}{x}$ 运用乘积法则。

$\int \frac{1^{2}}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.2

一的任意次幂都为一。

$\int \frac{1}{x^{2}} d x$

解题步骤 4.3

通过将 $x^{2}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int {(x^{2})}^{- 1} d x$

解题步骤 4.4

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int x^{2 \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\int x^{- 2} d x$

$\int x^{- 2} d x$

$\int x^{- 2} d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{- 2}$ 对 $x$ 的积分是 $- x^{- 1}$ 。

$- x^{- 1} + C$

解题步骤 6

将 $- x^{- 1} + C$ 重写为 $- \frac{1}{x} + C$ 。

$- \frac{1}{x} + C$

解题步骤 7

答案是函数 $f (x) = {(\frac{1}{x})}^{2}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \frac{1}{x} + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$