微积分学示例

$y = \frac{2}{3} x^{4} + 5 x - x^{- 3}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{2}{3} x^{4} + 5 x - x^{- 3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{3} x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{2}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

解题步骤 2.3

组合 $4$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{4 \cdot 2}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

解题步骤 2.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{8}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{8 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

解题步骤 3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 + \frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{- 3}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{- 3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ 。

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 - \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 3$ 。

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 - (- 3 x^{- 4})$

解题步骤 4.3

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 + 3 x^{- 4}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 + 3 \frac{1}{x^{4}}$

解题步骤 5.2

组合 $3$ 和 $\frac{1}{x^{4}}$ 。

$\frac{8 x^{3}}{3} + 5 + \frac{3}{x^{4}}$

解题步骤 5.3

重新排序项。

$\frac{8 x^{3}}{3} + \frac{3}{x^{4}} + 5$

微积分学 示例

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