微积分学示例

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{2 x - 1}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x^{2} + 7 x - 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.4

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.5

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $\frac{1}{2}$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 7 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 {(\frac{1}{2})}^{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.7.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.2.7.1.2.1

从 $2^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \frac{1^{2}}{2 \cdot 2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{1^{2}}{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{\frac{1}{2} + 7 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.4

组合 $7$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{7}{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{7}{2} - 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 4 + \frac{1 + 7}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.3

将 $1$ 和 $7$ 相加。

$\frac{- 4 + \frac{8}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.4

用 $8$ 除以 $2$ 。

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.2.7.5

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

解题步骤 1.1.3.1.3

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.3.3.1.1.1

约去公因数。

$\frac{0}{2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.1.2

重写表达式。

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.3.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{1 - 1}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x^{2} + 7 x - 4}{2 x - 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x - 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 7 x - 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $2 x^{2} + 7 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

解题步骤 1.3.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [7 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7 + 0}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

解题步骤 1.3.6

将 $4 x + 7$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{\frac{d}{d x} [2 x - 1]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.8.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.8.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

解题步骤 1.3.9

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2 + 0}$

解题步骤 1.3.10

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{4 x + 7}{2}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + 7$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $\frac{1}{2}$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7)$

解题步骤 2.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 7)$

解题步骤 2.4

计算 $7$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\frac{1}{2}$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} (4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 7)$

解题步骤 3

将 $\frac{1}{2}$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} (4 (\frac{1}{2}) + 7)$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2} (2 (2) \frac{1}{2} + 7)$

解题步骤 4.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{2} (2 \cdot 2 \frac{1}{2} + 7)$

解题步骤 4.1.3

重写表达式。

$\frac{1}{2} (2 + 7)$

解题步骤 4.2

将 $2$ 和 $7$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot 9$

解题步骤 4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $9$ 。

$\frac{9}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{9}{2}$

小数形式：

$4.5$

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