微积分学示例

$\frac{1}{x (x - 1)}$

解题步骤 1

将 $\frac{1}{x (x - 1)}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{x (x - 1)}$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{x (x - 1)} d x$

解题步骤 4

用部分分式分解写出分数。

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解题步骤 4.1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 4.1.1

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$

解题步骤 4.1.2

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $x (x - 1)$ 。

$\frac{1 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1 (x (x - 1))}{x (x - 1)} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.3.2

重写表达式。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.4

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

约去公因数。

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.4.2

重写表达式。

$1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.5

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.5.1.1

约去公因数。

$1 = \frac{A (x (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.5.1.2

用 $A (x - 1)$ 除以 $1$ 。

$1 = A (x - 1) + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.5.2

运用分配律。

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.5.3

将 $- 1$ 移到 $A$ 的左侧。

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.5.4

将 $- 1 A$ 重写为 $- A$ 。

$1 = A x - A + \frac{(B) (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.5.5

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.5.5.1

约去公因数。

$1 = A x - A + \frac{B (x (x - 1))}{x - 1}$

解题步骤 4.1.5.5.2

用 $(B) (x)$ 除以 $1$ 。

$1 = A x - A + (B) (x)$

$1 = A x - A + B x$

解题步骤 4.1.6

移动 $- A$ 。

$1 = A x + B x - A$

解题步骤 4.2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 4.2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 4.2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$1 = - 1 A$

解题步骤 4.2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A$

解题步骤 4.3

求解方程组。

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解题步骤 4.3.1

在 $1 = - 1 A$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

将方程重写为 $- 1 A = 1$ 。

$- 1 A = 1$

$0 = A + B$

解题步骤 4.3.1.2

将 $- 1 A = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.3.1.2.1

将 $- 1 A = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

解题步骤 4.3.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{A}{1} = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

解题步骤 4.3.1.2.2.2

用 $A$ 除以 $1$ 。

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

$A = \frac{1}{- 1}$

$0 = A + B$

解题步骤 4.3.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1.2.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$0 = A + B$

解题步骤 4.3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 1$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $- 1$ 替换 $0 = A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

解题步骤 4.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

去掉圆括号。

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

解题步骤 4.3.3

在 $0 = - 1 + B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将方程重写为 $- 1 + B = 0$ 。

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

解题步骤 4.3.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

解题步骤 4.3.4

求解方程组。

$B = 1 A = - 1$

解题步骤 4.3.5

列出所有解。

$B = 1, A = - 1$

解题步骤 4.4

将 $\frac{A}{x} + \frac{B}{x - 1}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$- \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 7

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{x - 1} d x$

解题步骤 8

使 $u = x - 1$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 8.1

设 $u = x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

解题步骤 8.1.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 8.1.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 8.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 8.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$- (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{u} d u$

解题步骤 9

$\frac{1}{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\ln (| u |)$ 。

$- (\ln (| x |) + C) + \ln (| u |) + C$

解题步骤 10

化简。

$- \ln (| x |) + \ln (| u |) + C$

解题步骤 11

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \ln (| x |) + \ln (| x - 1 |) + C$

解题步骤 12

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{x (x - 1)}$ 的不定积分。

$F (x) =$ $- \ln (| x |) + \ln (| x - 1 |) + C$

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