微积分学示例

$lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\cot (x)}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(x + 1)}^{\cot (x)}$ 重写为 $e^{\ln ({(x + 1)}^{\cot (x)})}$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x + 1)}^{\cot (x)})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\cot (x)$ 移到对数外来展开 $\ln ({(x + 1)}^{\cot (x)})$ 。

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (x + 1)}$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (x + 1)}$

解题步骤 3

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (x + 1)$

解题步骤 4

制作一个表格展示函数 $\cot (x) \ln (x + 1)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (x + 1) \\ - 0.1 & 1.05009079 \\ - 0.01 & 1.00500008 \\ - 0.001 & 1.0005 \\ - 0.0001 & 1.00005 \\ - 0.00001 & 1.00000499 \end{array}$

解题步骤 5

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\cot (x) \ln (x + 1)$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (x + 1)$

解题步骤 7

制作一个表格展示函数 $\cot (x) \ln (x + 1)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (x + 1) \\ 0.1 & 0.94992267 \\ 0.01 & 0.99499991 \\ 0.001 & 0.99949999 \\ 0.0001 & 0.99995 \\ 0.00001 & 0.99999499 \end{array}$

解题步骤 8

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\cot (x) \ln (x + 1)$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$e^{1}$

解题步骤 9

化简。

$e$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e$

小数形式：

$2.71828182 \dots$

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