微积分学示例

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.2

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 4} x^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot lim_{x \to 4} \sqrt{x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.4

将极限移入根号内。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - lim_{x \to 4} 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.5

计算 $128$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 4} x)}^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $4$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{lim_{x \to 4} x} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4^{3} \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.7.1.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{64 \cdot \sqrt{4} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{64 \cdot \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.7.1.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{64 \cdot 2 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.7.1.4

将 $64$ 乘以 $2$ 。

$\frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $128$ 。

$\frac{128 - 128}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.2.7.2

从 $128$ 中减去 $128$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $4$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $4$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $4$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{0}{4 - 4}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 4} \frac{x^{3} \sqrt{x} - 128}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x} - 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{3} \sqrt{x} - 128$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{3} \sqrt{x}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.2.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.2.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot 2 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.2.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{6 + 1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.2.5.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{7}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.6

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.7

化简分子。

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解题步骤 1.3.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.3.7.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 128$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 128$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.5

化简。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.5.2

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $x^{\frac{5}{2}}$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}}{1}$

解题步骤 1.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.5

将 $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to 4} \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $\frac{7}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7}{2} lim_{x \to 4} x^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 2.2

使用极限幂法则把 $x^{\frac{5}{2}}$ 的指数 $\frac{5}{2}$ 移到极限外。

$\frac{7}{2} {(lim_{x \to 4} x)}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 3

将 $4$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7}{2} \cdot 4^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{7}{2} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

解题步骤 4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

约去公因数。

$\frac{7}{2} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}$

解题步骤 4.3.2

重写表达式。

$\frac{7}{2} \cdot 2^{5}$

解题步骤 4.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{7}{2} \cdot 32$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{7}{2} \cdot (2 (16))$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

$\frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 16)$

解题步骤 4.5.3

重写表达式。

$7 \cdot 16$

解题步骤 4.6

将 $7$ 乘以 $16$ 。

$112$

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