微积分学示例

$lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$ 重写为 $e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$

解题步骤 1.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})$ 。

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

解题步骤 2

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

解题步骤 3

将 $x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})$ 重写为 $\frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}}$

解题步骤 4

运用洛必达法则。

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解题步骤 4.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 4.1.1

取分子和分母极限值。

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 4.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将极限移入对数中。

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.1.2

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.2

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3

计算极限值。

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解题步骤 4.1.2.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.1.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.1.2

重写表达式。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.3.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.2.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.3.6

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.4

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 4.1.2.5.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.5.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.2.5.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.5.2.2

重写表达式。

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.2.5.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 4.1.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 4.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$e^{\frac{0}{0}}$

解题步骤 4.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

解题步骤 4.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 4.3.1

对分子和分母进行求导。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{3 x}{3 x + 1}$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{3 x}{3 x + 1}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.2.3

使用 $\frac{3 x}{3 x + 1}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{3 x}{3 x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.3

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{3 x}{3 x + 1}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.4

将 $\frac{3 x + 1}{3 x}$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.5

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x}{3 x + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.6

组合 $3$ 和 $\frac{3 x + 1}{3 x}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.7.1

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.7.2

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.8

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 3 x + 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.10

将 $3 x + 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.11

根据加法法则， $3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.12

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.14

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.15

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.16

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.17

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - 3 x}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.18

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.19

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.20

将 $\frac{3 x + 1}{x}$ 乘以 $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.21

约去 $3 x + 1$ 和 ${(3 x + 1)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.21.1

乘以 $1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.21.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.21.2.1

从 $x {(3 x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $3 x + 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.21.2.2

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.21.2.3

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

解题步骤 4.3.22

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

解题步骤 4.3.23

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

解题步骤 4.3.24

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.4

将分子乘以分母的倒数。

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (3 x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

解题步骤 4.5

组合 $\frac{1}{x (3 x + 1)}$ 和 $x^{2}$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x^{2}}{x (3 x + 1)}}$

解题步骤 4.6

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

解题步骤 4.6.2

约去公因数。

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解题步骤 4.6.2.1

约去公因数。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

解题步骤 4.6.2.2

重写表达式。

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x}{3 x + 1}}$

解题步骤 5

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1}}$

解题步骤 6

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x$ 。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7

计算极限值。

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解题步骤 7.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.1.2

重写表达式。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.2.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{- \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.5

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 7.6

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$e^{- \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

解题步骤 8

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$e^{- \frac{1}{3 + 0}}$

解题步骤 9

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$e^{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$

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