微积分学示例

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

解题步骤 1

使 $u = \frac{3 x}{2}$ 。然后使 $d u = \frac{3}{2} d x$ ，以便 $\frac{2}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 1.1

设 $u = \frac{3 x}{2}$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 1.1.1

对 $\frac{3 x}{2}$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $\frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{3 x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{3}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.4

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{2}$

解题步骤 1.2

将下限代入替换 $u = \frac{3 x}{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

约去 $0$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1.1

从 $3 \cdot 0$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

解题步骤 1.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.1.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

解题步骤 1.3.1.2.2

约去公因数。

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.1.2.3

重写表达式。

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

解题步骤 1.3.1.2.4

用 $3 \cdot 0$ 除以 $1$ 。

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

解题步骤 1.3.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$u_{lower} = 0$

解题步骤 1.4

将上限代入替换 $u = \frac{3 x}{2}$ 中的 $x$ 。

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

解题步骤 1.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

解题步骤 1.6

求得的 $u_{lower}$ 和 $u_{upper}$ 的值将用来计算定积分。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

解题步骤 1.7

使用 $u$ 、 $d u$ 以及积分的新极限重写该问题。

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{3}{2}$ 。

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

解题步骤 2.2

将 $\frac{2}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

解题步骤 2.3

组合 $5^{u}$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

解题步骤 2.4

将 $2$ 移到 $5^{u}$ 的左侧。

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{2}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{2}{3}$ 移到积分外。

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

解题步骤 4

$5^{u}$ 对 $u$ 的积分为 $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ 。

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

解题步骤 6

代入并化简。

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解题步骤 6.1

计算 $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ 在 $\frac{3}{2}$ 处和在 $0$ 处的值。

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

解题步骤 6.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

在公分母上合并分子。

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

解题步骤 7.2

组合 $2$ 和 $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ 。

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

解题步骤 7.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 7.4

合并。

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

解题步骤 7.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

解题步骤 7.6

将 $3$ 移到 $\ln (5)$ 的左侧。

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

小数形式：

$4.21693387 \dots$

解题步骤 9

微积分学 示例

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