微积分学示例

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

解题步骤 1.2

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

解题步骤 1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

解题步骤 1.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

解题步骤 1.5

将负号移到分数的前面。

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

解题步骤 2

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{4}$ 移到积分外。

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x)$

解题步骤 4

使 $x = \sin (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \cos (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\cos (t)$ 为正数。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

化简 $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 5.1.2

从 $- 4 \sin^{2} (t)$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

解题步骤 5.1.3

从 $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

解题步骤 5.1.4

使用勾股恒等式。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

解题步骤 5.1.5

将 $4 \cos^{2} (t)$ 重写为 ${(2 \cos (t))}^{2}$ 。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

解题步骤 5.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

解题步骤 5.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.1

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $\sin (t) (2 \cos (t))$ 中分解出因数 $\cos (t)$ 。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

解题步骤 5.2.1.2

约去公因数。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

解题步骤 5.2.1.3

重写表达式。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \cdot (2)} d t$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 移到 $\sin (t)$ 的左侧。

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \sin (t)} d t$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{\sin (t)}$ 转换成 $\csc (t)$ 。

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \csc (t) d t)$

解题步骤 7.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \csc (t) d t$

解题步骤 7.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

解题步骤 8

$\csc (t)$ 对 $t$ 的积分为 $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ 。

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

解题步骤 9

化简。

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

解题步骤 10

使用 $\arcsin (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$

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