微积分学示例

$y + x^{3} y - 5 x = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y + x^{3} y - 5 x) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $y + x^{3} y - 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y' + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

$y' + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y' + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$y' + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.3.4

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \cdot 1$

解题步骤 2.4.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5$

解题步骤 2.5

重新排序项。

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5 = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2} y$ 。

$x^{3} y' + y' - 5 = - 3 x^{2} y$

解题步骤 5.1.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x^{3} y' + y' = - 3 x^{2} y + 5$

解题步骤 5.2

从 $x^{3} y' + y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $x^{3} y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

解题步骤 5.2.2

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

解题步骤 5.2.3

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' x^{3} + y' \cdot 1 = - 3 x^{2} y + 5$

解题步骤 5.2.4

从 $y' x^{3} + y' \cdot 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (x^{3} + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

解题步骤 5.3

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$y' (x^{3} + 1^{3}) = - 3 x^{2} y + 5$

解题步骤 5.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$y' ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

解题步骤 5.5

因数。

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解题步骤 5.5.1

化简。

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解题步骤 5.5.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

解题步骤 5.5.1.2

一的任意次幂都为一。

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = - 3 x^{2} y + 5$

解题步骤 5.5.2

去掉多余的括号。

$y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

解题步骤 5.6

将 $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ 中的每一项除以 $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 并化简。

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解题步骤 5.6.1

将 $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ 中的每一项都除以 $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ 。

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

解题步骤 5.6.2

化简左边。

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解题步骤 5.6.2.1

约去 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

解题步骤 5.6.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

解题步骤 5.6.2.2

约去 $x^{2} - x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

解题步骤 5.6.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

解题步骤 5.6.3

化简右边。

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解题步骤 5.6.3.1

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

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