微积分学示例

$y' - 2 y = 0$

解题步骤 1

重写微分方程。

$\frac{d y}{d x} - 2 y = 0$

解题步骤 2

积分因数由公式 $e^{\int P (x) d x}$ 定义，其中 $P (x) = - 2$ 。

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解题步骤 2.1

建立积分。

$e^{\int - 2 d x}$

解题步骤 2.2

应用常数不变法则。

$e^{- 2 x + C}$

解题步骤 2.3

去掉积分常数。

$e^{- 2 x}$

解题步骤 3

每一项乘以积分因数 $e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 3.1

每一项乘以 $e^{- 2 x}$ 。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 2 x} (- 2 y) = e^{- 2 x} \cdot 0$

解题步骤 3.2

使用乘法的交换性质重写。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = e^{- 2 x} \cdot 0$

解题步骤 3.3

将 $e^{- 2 x}$ 乘以 $0$ 。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 0$

解题步骤 3.4

将 $e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- 2 x} y = 0$ 中的因式重新排序。

$e^{- 2 x} \frac{d y}{d x} - 2 y e^{- 2 x} = 0$

解题步骤 4

将左边重写为对积求导的结果。

$\frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] = 0$

解题步骤 5

在两边建立积分。

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 2 x} y] d x = \int 0 d x$

解题步骤 6

对左边积分。

$e^{- 2 x} y = \int 0 d x$

解题步骤 7

对右边积分。

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解题步骤 7.1

$0$ 对 $x$ 的积分为 $0$ 。

$e^{- 2 x} y = 0 + C$

解题步骤 7.2

将 $0$ 和 $C$ 相加。

$e^{- 2 x} y = C$

解题步骤 8

将 $e^{- 2 x} y = C$ 中的每一项除以 $e^{- 2 x}$ 并化简。

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解题步骤 8.1

将 $e^{- 2 x} y = C$ 中的每一项都除以 $e^{- 2 x}$ 。

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2

化简左边。

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解题步骤 8.2.1

约去 $e^{- 2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{- 2 x} y}{e^{- 2 x}} = \frac{C}{e^{- 2 x}}$

解题步骤 8.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{C}{e^{- 2 x}}$

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